進数表記と進数変換

進数表記

$m=0,1,2,\dots$ として $x^m$ の束で数字を表すことを $x$ 進数表記とよびます。
私たちが普段用いている表記は10進数なので、${10}^m$ の束（たば）によって数字を表しています。たとえば $5719$ という数字は
 $$5719=5\times {10}^3+7\times {10}^2+1\times {10}^1+9\times {10}^0$$
という意味をもちます。${10}^m$ の束のことを「位」とよびます。${10}^3$ の束は千の位、${10}^2$ の束は百の位です。

$x$ のことを 底 といいます。底として $10$ 以外の数字を選択することもあります。$x=2$ とすれば、2進数 (binary) です。たとえば、2進数で表された $101101$ の各位は下の表のようになります。
 

表にしたがって、$101101$ を10進数に変換すると、
 $$1\times 2^5+0\times 2^4+1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=45$$
となります。しかし、単に数字を $101101$ のように書いたのでは、底がいくつなのか判明しません（十万一千百一だと勘違いされるおそれがあります）。そこで、ある数字が $x$ 進数であることを明記するために、数字全体を (　) で囲って底を右下に添えることがあります。上の例では $(101101{)}_2$ のように記述します。

底に $x=8$ を選べば8進数です。8進数は $8^m$ の束で数字を表します。
たとえば、$(527{)}_8$ と表された数字を10進数に変換すると
 $$(527{)}_8=5\times 8^2+2\times 8^1+7\times 8^0=(343{)}_{10}$$
となります。

底に $x=16$ を選べば16進数ですが、ひとつ厄介な問題があります。$10$ ～ $15$ を表記するための適切な文字がないからです (人類は長い間10進数を使ってきたので、$0$ ～ $9$ の $10$ 種類の数字しか用意されていません)。そこで仕方なく、16進数で表された数字の位が $10$ ～ $15$ である場合、アルファベットの $A$ ～ $F$ で代用することになっています。10進数との対応表は次のようになります。
 

対応表を使って、$(\mathrm{D}5\mathrm{F}3{)}_8$ を10進数に変換してみます。
 

 $$(\mathrm{D}5\mathrm{F}3{)}_{16}=13\times {16}^3+5\times {16}^2+15\times {16}^1+3\times {16}^0=(54771{)}_{10}$$

Pythonにおける進数表記と相互変換

Python で 2進数、8進数、16進数 をリテラルで表記する場合、数値の先頭に 0b, 0o, 0x をつける というルールがあります。また、10進数リテラル数値をそれぞれの進数表記の文字列に変換するための関数も用意されています。

2進数表記

2進数表記の数値をリテラルで入力するときは数値の頭に 0b をつけます。

# PYTHON_BINARY

# In[1]

# 先頭に0bのつく数値は2進数
val = 0b1111

print(val)
# 15

bin 関数を使うと、10進数表記の数値を2進数表記の文字列に変換することができます。ちなみに、”bin” は “binary digits” の略です。

# In[2]

# 10進数の数値を2進数文字列に変換

val= bin(15)

print(val)
# '0b1111'

2進数表記の文字列を10進数表記の数値に変換するときには int 関数を用います（第2引数には底の2を指定します）。

# In[3]

# 2進数文字列を数値に変換
val = int("0b1111", 2)

print(val)
# 15

8進数表記

8進数表記の数値をリテラルで入力するときは数値の頭に 0o をつけます。

# PYTHON_OCTAL

# In[1]

# 先頭に0oのつく数値は8進数です
val = 0o77

print(val)
# 63

oct 関数を使うと、$10$ 進数表記の数値を8進数表記の文字列に変換できます。
oct は octal digits ($8$ 進数) の略です。

# In[2]

# 10進数の数値を8進数文字列に変換
val = oct(63)

print(val)
# '0o77'

8進数表記の文字列を10進数表記の数値に変換するときには int 関数を用います（第2引数に底の8を指定します）。

# In[3]

# 8進数文字列を数値に変換
val = int("0o77", 8)

print(val)
# 63

16進数表記

16進数表記の数値をリテラルで入力するときには数値の頭に 0x をつけます。

# PYTHON_HEXADECIMAL

# In[1]

# 先頭に0xのつく数値は16進数
val = 0x3E8

print(val)
# 1000

hex 関数を用いると、10進数表記の数値を16進数表記の文字列に変換できます。
hex は hexadecimal digits (16進数) の略です。

# In[2]

# 10進数の数値を16進数文字列に変換
val = hex(1000)

print(val)
# '0x3e8'

16進数表記の文字列を10進数表記の数値に変換するときには int 関数を用います（第2引数に底の16を指定します）。

# In[3]

# 16進数文字列を数値に変換
val = int("0x3e8", 16)

print(val)
# 1000

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