Python数学

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  • 2020.03.06

オイラー法

オイラー法  ≪ [前の記事] 力学的エネルギー保存の法則  与えられた微分方程式について、通常の数学的手法を使って導き出された解を解析解 (厳密解) とよびます。これまでの記事では、運動方程式の解析解を手計算で求めてから離散データを作成して、結果をグラフにプロットしました。  解析解は文句なしに最高精度を保証するので、一番最初に検討すべき選択肢です (与えられた微分方程式が解けるのか […]

  • 2020.03.03

力学的エネルギー保存の法則

力学的エネルギー保存の法則  ≪ [前の記事] 自由落下運動  今回の記事では エネルギー とよばれる量を導入します。  エネルギーに関する詳細な議論は先の記事で扱いますが、当面の間は運動エネルギーと位置エネルギーの定義式を天下り的に使いながら、数値シミュレーションを通してその性質を探っていきます。 運動エネルギーと位置エネルギー  質量 $m$ [kg] をもち、速度 $v$ [m/ […]

  • 2020.03.02

自由落下運動

自由落下運動  ≪ [前の記事] 万有引力の法則と重力加速度  物体に重力のみが作用して生じる運動を 自由落下運動 (free fall) とよびます。  地球上での落下運動も自由落下とよぶことがありますが、空気抵抗を受けるので、厳密には自由落下ではありません。  おそらく、自由落下は力学で最も初歩的な問題であり、高校の物理学の教科書でも取り上げられますが、特殊な環境 (真空) で観測 […]

  • 2020.02.10

ポアソン分布

ポアソン分布  この記事の内容 (ポアソン分布) は二項分布の知識を前提とするので、簡単に復習しておきます (二項分布の詳細についてはこちらの記事を参照してください)。  $2$ 種類の事象 $A$ と $B$ が、それぞれ確率 $p,\ 1-p$ で起こる試行を $n$ 回繰り返すとき、$A$ が $k$ 回起こる確率は   \[f(k)=P(X=k)={}_{n}\mathrm{C}_{k}\ […]

  • 2020.01.19

二項分布

二項分布  二項分布 (Binomial Distribution) とは、結果が二択となる試行を繰り返して、ある事象 (出来事) がどのくらい発生するかを表す確率分布です。たとえば、引き分けのない試合が $10$ 回行われたとき、$7$ 勝できる確率はどのくらいかを表します。 二項試行のシミュレーション  これから「コインを $5$ 回投げて、それぞれの回で表と裏のどちらが出たかを記録する試行」 […]

  • 2020.01.15

最頻値 (モード)

最頻値 (モード)  ある標本の中で最も頻繁に現れる値を 最頻値 (モード) といいます。たとえば   [1, 2, 5, 5, 5, 8, 8, 12, 19] においては要素 5 が最も多く含まれているので、最頻値は 5 となります。Python では statistics.mode() を使って標本の最頻値を取得できます。 import statistics x = [1, 2, 5, 5, […]

  • 2020.01.14

中央値 (メジアン)

中央値 (メジアン)  データを昇順 (小さい順) あるいは降順 (大きい順) に並べたときに真ん中にくる値を 中央値 (メジアン) と定義します。  たとえば、昇順に並んだ 9 個のデータ   1, 3, 7, 10, 13, 15, 19, 23, 28 の中央値は、左から (あるいは右から) 数えて 5 番目にある 13 です。  データが偶数個のときは真ん中にある 2 数の平均値を中央値と […]

  • 2020.01.09

たくさんボールを投げて同じ箱に入る確率は?

少なくとも 2 個のボールが同じ箱に入る確率は?  $n$ 個の箱が並んでいて、そこに $a$ 個のボールを $1$ 個ずつ順番に投げ入れます。ボールは必ずどれかの箱に入り、どの箱に入る確率も等しいとします。すべてのボールを投げ終えたとき、少なくとも $2$ 個のボールが同じ箱に入る確率を $P$ とします。 [1] $P$ の表式を $a$ と $n$ で表してください。 [2] ボールの個数と […]

  • 2019.12.28

分散と標準偏差、偏差値

分散と標準偏差、偏差値  この記事ではデータのバラつき具合を表す分散と標準偏差、そして偏差値について解説します。最初に必要なモジュールをまとめてインポートして、numpy.set_printoptions() で表示形式を設定しておきます。 # In[1] # モジュールをインポート import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from s […]

  • 2019.12.05

ユニタリ行列

 ≪ [前の記事] エルミート行列 ユニタリ行列  実空間 $\mathbb{R}^n$ の 直交行列 $Q$ は、複素空間 $\mathbb{C}^n$ において ユニタリ行列 $U$ として拡張定義されます。ユニタリ行列は   \[U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=I\tag{1}\] を満たす正方行列です。$U$ が実行列であれば $U^{\dagger}=U^ […]

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