Python数学

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  • 2020.01.19

二項分布

二項分布  二項分布 (Binomial Distribution) とは、結果が二択となる試行を繰り返して、ある事象 (出来事) がどのくらい発生するかを表す確率分布です。たとえば、引き分けのない試合が $10$ 回行われたとき、$7$ 勝できる確率はどのくらいかを表します。 二項試行のシミュレーション  これから「コインを $5$ 回投げて、それぞれの回で表と裏のどちらが出たかを記録する試行」 […]

  • 2020.01.15

最頻値 (モード)

最頻値 (モード)  ある標本の中で最も頻繁に現れる値を 最頻値 (モード) といいます。たとえば   [1, 2, 5, 5, 5, 8, 8, 12, 19] においては要素 5 が最も多く含まれているので、最頻値は 5 となります。Python では statistics.mode() を使って標本の最頻値を取得できます。 # In[1] import statistics x = [1, […]

  • 2020.01.14

中央値 (メジアン)

中央値 (メジアン)  データを昇順 (小さい順) あるいは降順 (大きい順) に並べたときに真ん中にくる値を 中央値 (メジアン) と定義します。  たとえば、昇順に並んだ 9 個のデータ   1, 3, 7, 10, 13, 15, 19, 23, 28 の中央値は、左から (あるいは右から) 数えて 5 番目にある 13 です。  データが偶数個のときは真ん中にある 2 数の平均値を中央値と […]

  • 2020.01.09

たくさんボールを投げて同じ箱に入る確率は?

少なくとも 2 個のボールが同じ箱に入る確率は?  $n$ 個の箱が並んでいて、そこに $a$ 個のボールを $1$ 個ずつ順番に投げ入れます。ボールは必ずどれかの箱に入り、どの箱に入る確率も等しいとします。すべてのボールを投げ終えたとき、少なくとも $2$ 個のボールが同じ箱に入る確率を $P$ とします。 [1] $P$ の表式を $a$ と $n$ で表してください。 [2] ボールの個数と […]

  • 2019.12.28

分散と標準偏差、偏差値

分散と標準偏差、偏差値  この記事ではデータのバラつき具合を表す分散と標準偏差、そして偏差値について解説します。最初に必要なモジュールをまとめてインポートして、numpy.set_printoptions() で表示形式を設定しておきます。 # In[1] # モジュールをインポート import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from s […]

  • 2019.12.05

ユニタリ行列

ユニタリ行列  実空間 $\mathbb{R}^n$ の 直交行列 $Q$ は、複素空間 $\mathbb{C}^n$ において ユニタリ行列 $U$ として拡張定義されます。ユニタリ行列は   \[U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=I\tag{1}\] を満たす正方行列です。$U$ が実行列であれば $U^{\dagger}=U^T$ なので、(1) は直交行列 $Q$ の定義 […]

  • 2019.12.04

エルミート行列

エルミート行列  共役転置 して不変な正方行列、すなわち   \[H=H^{\dagger}\tag{1}\] を満たす行列 $A$ を エルミート行列、または 自己随伴行列 とよびます。要素が全て実数であるときには、エルミート行列は対称行列です。複素数空間においてもエルミート行列の主対角成分は複素共役をとって不変であるために常に実数です。たとえば、   \[H=\begin{bmatrix} 2 […]

  • 2019.12.02

随伴行列

共役転置と随伴行列  今回からベクトルおよび行列の要素を複素数に拡張します。$n$ 次元複素数空間は complex number の頭文字をとって $\mathbb{C}^n$ と表されます。内積やノルム、転置行列などが、実空間 $\mathbb{R}^n$ における定義を包含するような形で再定義され、エルミート行列やユニタリ行列などの新しい種類の行列が登場します。 随伴行列  実数空間では、行 […]

  • 2019.11.28

QR分解

QR分解  $m\times n$ 行列 $A$ を $m\times m$ 直交行列 $Q$ と $m\times n$ 上三角行列 $R$ の積に分解することを QR分解 (QR decomposition) とよび、数値線型代数において重要な役割を担います。NumPy には QR分解を実行する numpy.linalg.qr() が実装されています。 QR分解の手順  まずは理論について簡単 […]

  • 2019.11.28

グラム・シュミットの直交化法

グラム・シュミットの直交化法  前回記事では 完全正規直交系の定義と性質 について解説しました。  今回は $\mathbb{R}^n$ の任意の基底 $\{\boldsymbol{a}_1,\ \boldsymbol{a}_2,\ ...,\ \boldsymbol{a}_n\}$ から完全正規直交系 $\{\boldsymbol{q}_1,\ \boldsymbol{q}_2,\ ...,\ […]

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