Python数学

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  • 2019.08.12

ロジスティック関数

ロジスティック関数  ロジスティック方程式   \[\frac{dN}{dt}=\left( 1-\frac{N(t)}{K}\right)N\] の解である ロジスティック関数 (Logistic function) は、シグモイド関数   \[f(x)=\frac{1}{1+\exp(-ax)}\quad (a\gt 0)\] を特別な形として含む、より汎用的な関数です:   \[N=\fra […]

  • 2019.07.25

[SciPy] ベッセル関数とノイマン関数

ベッセル関数  第1種ベッセル関数 (第1種円柱関数) は、ベッセルの微分方程式   \[x^2y''+xy'+(x^2-v^2)y=0\tag{1}\] の特殊解の1つであり、具体的には   \[Jv(x)=\sum_{s=0}^{\infty}\frac{(-1)^2}{s!\Gamma(s+v+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{v+2s}\tag{2}\] という級 […]

  • 2019.07.22

[SciPy] 数値積分

数値積分:scipy.integrate.quad()  scipy.integrate.quad() は Fortran のライブラリ QUADPACK を使って、ガウスの数値積分 (Gaussian quadrature) を実行します。必須引数は被積分関数 func、積分下限値 a、積分上限値 b です。戻り値は積分近似値と推定誤差のタプルです。  例として、$y=\sin^2 x$ を $ […]

  • 2019.07.20

置換行列

置換行列  任意の行列 $A$ に単位行列 $I$ を掛けると、$A$ が元の形を保つことはすでに学んでいます:   \[IA=AI=I\]  すなわち単位行列 $I$ は恒等変換行列です。  いま、$3\times 3$ 単位行列と、$3\times 3$ 正方行列   \[I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ,\quad A=\b […]

  • 2019.07.16

[SymPy] 素数と合成数、素因数分解

素数  2 個の約数をもつ自然数のことを 素数 (prime number) といいます。1 の約数は 1 だけなので素数ではありません。2 は 1 と 2 を約数にもつので素数です。すなわち 2 は最小素数です。3 は 1 と 3 を約数にもつので、やはり素数です。 sympy.primerange()  sympy.primerange(a, b) は a 以上 b 未満の素数を生成するジェネ […]

  • 2019.07.15

[SymPy] 行列とベクトル

SymPy 線型代数演算  SymPy の行列オブジェクト (MutableDenseMatrix) に対して実行できる線型代数演算 (行列演算) について解説します。以下のコードは Jupyter Notebook で実行することを想定しています。他の IDE で実行される場合は適宜 print()関数などを補ってください。 行列オブジェクトの生成  行列の各行をリストで sympy.Matri […]

  • 2019.07.13

行列の累乗

行列の累乗  同じ行列を $k$ 回乗算することを 行列の累乗 とよび、$A^k$ で表します:   \[A^k=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \cdots\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\]  この記事では行列の累乗の固有値と固有ベクトルを […]

  • 2019.07.12

行列の対角化

行列の対角化  2 次の正方行列 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ について、   \[\boldsymbol{p}=\begin{bmatrix}p_1\\p_2\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{q}=\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}\tag{1}\] を固有値 $\alpha, […]

  • 2019.07.03

ゼロ除算

ゼロ除算  ゼロ除算 (division by zero) とは、ある数値を 0 で割る演算を意味します。よく知られているように、数学においてゼロ除算は定義されない演算なので、多くのプログラミング言語においてもゼロ除算を実行するとエラーまたは NaN (Not a Number : 非数) が返るように設計されています。Python ではゼロ除算に対して ZeroDivisionError が発生 […]

  • 2019.06.04

固有値と固有ベクトル

行列の固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトルの定義  行列 $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ によってベクトル $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ を線型変換してみます。   \[\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} […]

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