Python数学

1/7ページ
  • 2019.06.04

固有値と固有ベクトル

行列の固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトルの定義  行列 $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ によってベクトル $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ を線型変換してみます。   \[\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} […]

  • 2019.06.02

行列の階数 (rank)

行列の階数 (rank) 平面全体の線型変換  これまでの記事では、点や直線、領域などの集合 $V$ について、線型変換 $f$ による像 $f(V)=\mathrm{Im}f$ を調べてきました。  そして今回は $xy$ 平面全体を $V$ に定めて、$f$ の表現行列 $A$ によって移される像を調べます。『連立方程式の解』の記事で学んだように、行列 $A=\begin{bmatrix}a& […]

  • 2019.05.31

直線の線型変換

直線の方程式と線型変換 直線の方程式  下図のように、平面上に 2 点 $P,\ Q$ があって、それぞれの位置ベクトルを $\boldsymbol{p},\ \boldsymbol{q}$ とします。    このとき、$P$ を始点、$Q$ を終点とするベクトルは $\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}$ なので、$P$ と $Q$ を結ぶ直線上の位置ベクトルは、任意のスカ […]

  • 2019.05.29

表現行列③ 回転行列

回転行列 回転行列の定義  ベクトルを $x$ 軸から反時計周りに角度 $\theta$ だけ 回転 (rotation) する表現行列は   \[R=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\tag{1}\] で与えられます。行列 $R$ を単位ベクトル $\begin{bmatrix}1 […]

  • 2019.05.28

表現行列② 拡大・縮小行列

拡大・縮小行列 ベクトルをk倍する行列  ベクトルの長さを $k$ 倍にする行列は   \[A=\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\tag{1}\] で与えられます。実際、行列 $A$ をベクトル $\boldsymbol{r}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ に掛けてみると、   \[\begin{bmatrix}k&0\ […]

  • 2019.05.26

表現行列① 対称移動

対称移動  『線型写像』の記事で、あらゆる種類の線型変換は行列形式で表現できることを解説しました。中でも 対称移動 (折り返し) は基本的な線型変換です。いくつかの種類について表現行列を調べてみます。 軸に関する対称移動  任意の点を $x$ 軸に関して折り返す表現行列は   \[A=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}\tag{1}\] で与えられます。 […]

  • 2019.05.25

余因子と余因子行列

余因子と余因子行列  すでに $2\times 2$ の逆行列については学んでいますが、サイズの大きな行列の逆行列を求めることは簡単なことではありません。一般に逆行列を求める手順として、「掃き出し法」と「余因子行列を用いる方法」があります。この記事では余因子行列について解説します。 小行列式  $n$ 次の正方行列 $A$ について、$i$ 行目と $j$ 列目を取り除いて作った行列式を $A$ […]

  • 2019.05.24

行列のトレース

行列のトレース (対角和) トレースの定義  $n\times n$ の正方行列   \[A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots &a_{nn}\end{bmatri […]

  • 2019.05.24

転置行列

転置行列 転置行列の定義  $m\times n$ の行列   \[A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2} &\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}\] について、 […]

  • 2019.05.24

線型写像

集合と写像  ある 2 つの集合 $A,\ B$ があって、$A$ のそれぞれの元 (要素) について、$B$ の元 (要素) に対応させるような規則 $f$ が与えられたとき、$f$ を $A$ から $B$ への 写像 (map)とよび、   \[f:A \mapsto B\] のように記述します。たとえば、元を図 1 のように結びつけて、これを写像 $f$ と定義することができます。     […]

1 7