Python数学

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  • 2019.10.14

ベクトルの直積

ベクトルの直積 直積の定義  ベクトル $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ のテンソル積 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$ を 直積 (direct product) または外積 (outer product) とよび、$\boldsymbol{a}\otimes\boldsymbol{b}$ で表します。ただし外積はベクトル積の […]

  • 2019.10.13

アダマール積

アダマール積  同じサイズの行列 $A,\ B$ に対して、成分ごとの積をとる演算を アダマール積 (Hadamard product) または シューア積 (Schur product) とよび、$A\circ B$ で表します。   \[\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} &a_{13}\\ a_{21}&a_{22} &a_{23}\\ a_{31}&a_{32} & […]

  • 2019.10.11

LU分解

LU分解  数万円のノート PC があれば、ガウス・ジョルダンの消去法 で $1000$ 変数の連立方程式を解くことができます。しかし、現代の複雑な科学計算では $10,000$ あるいは $100,000$ を超える変数の連立方程式を解くことを要求されることも珍しくありません。このような巨大連立方程式に備えて少しでも計算コストを下げようと、様々な高速アルゴリズムが考案されています。SciPy に […]

  • 2019.10.05

下三角行列と上三角行列

下三角行列  主対角成分の上にある成分がすべてゼロとなるような正方行列を 下三角行列 または左三角行列とよびます。たとえば、$4\times 4$ の下三角行列は   \[L=\begin{bmatrix} a_{11}&0&0&0\\ a_{21}&a_{22}&0&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmat […]

  • 2019.10.03

ガウス・ジョルダンの消去法

ガウス・ジョルダンの消去法  以前の記事で、連立方程式 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ を $\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}$ の形で解く方法を解説しました。しかし、連立方程式を解くために明示的に逆行列を求める必要はありません。今回は ガウス・ジョルダンの消去法 (掃き出し法) とよばれる手法を解説します。 拡大係数行列   […]

  • 2019.08.12

ロジスティック関数

ロジスティック関数  ロジスティック方程式   \[\frac{dN}{dt}=\left( 1-\frac{N(t)}{K}\right)N\] の解である ロジスティック関数 (Logistic function) は、シグモイド関数   \[f(x)=\frac{1}{1+\exp(-ax)}\quad (a\gt 0)\] を特別な形として含む、より汎用的な関数です:   \[N=\fra […]

  • 2019.07.25

[SciPy] ベッセル関数とノイマン関数

ベッセル関数  第1種ベッセル関数 (第1種円柱関数) は、ベッセルの微分方程式   \[x^2y''+xy'+(x^2-v^2)y=0\tag{1}\] の特殊解の1つであり、具体的には   \[Jv(x)=\sum_{s=0}^{\infty}\frac{(-1)^2}{s!\Gamma(s+v+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{v+2s}\tag{2}\] という級 […]

  • 2019.07.22

SciPy 数値積分

SciPy 数値積分 scipy.integrate.quad()  scipy.integrate.quad() は Fortran のライブラリ QUADPACK を使って、ガウスの数値積分 (Gaussian quadrature) を実行します。必須引数は被積分関数 func、積分下限値 a、積分上限値 b です。戻り値は積分近似値と推定誤差のタプルです。  例として、$y=\sin^2 […]

  • 2019.07.20

基本行列

基本行列  次回記事でガウス・ジョルダンの消去法による連立方程式の求め方を学びますが、その準備として 基本行列(elementary matrices) とよばれる 3 種類の行列について説明しておきます。 置換行列  任意の行列 $A$ に単位行列 $I$ を掛けると、$A$ が元の形を保つことはすでに学んでいます:   \[IA=AI=I\]  すなわち単位行列 $I$ は恒等変換行列です。 […]

  • 2019.07.16

素数と合成数、素因数分解

素数  2 個の約数をもつ自然数のことを 素数 (prime number) といいます。1 の約数は 1 だけなので素数ではありません。2 は 1 と 2 を約数にもつので素数です。すなわち 2 は最小素数です。3 は 1 と 3 を約数にもつので、やはり素数です。 sympy.primerange()  sympy.primerange(a, b) は a 以上 b 未満の素数を生成するジェネ […]

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