アダマール積

アダマール積（シューア積）
1. 【NumPy】アダマール積
2. sympy.matrix_multiply_elementwise()

アダマール積（シューア積）

同じサイズの行列 $A, B$ に対して、成分ごとの積をとる演算をアダマール積（Hadamard product）またはシューア積（Schur product）とよび、 $A \circ B$ で表します。名称はフランスの数学者ジャック・サロモン・アダマール（Jacques Salomon Hadamard）、ドイツ・イスラエルの数学者イサイ・シューア（Issai Schur）らに由来します。
　
たとえば、3×3サイズの行列同士のアダマール積は次のように表されます。
$\begin{matrix} (1) & [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & a_{13} b_{13} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & a_{23} b_{23} \\ a_{31} b_{31} & a_{32} b_{32} & a_{33} b_{33} \end{matrix}] \end{matrix}$
ほぼ自明のことですが、アダマール積は交換則と分配則
$\begin{aligned} (2) & A \circ B = B \circ A \\ (3) & A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C \\ (4) & A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C \end{aligned}$
を満たす演算です。

【NumPy】アダマール積

NumPy の配列に対して * 演算子を適用すると、成分ごとの積、すなわちアダマール積を計算します（行列積ではありません）。3×3サイズの配列を用意して、配列積 (アダマール積) を計算させてみましょう。

# NumPy_Hadamard_product

# In[1]

import numpy as np

a = np.array([[3, 1, 7],
              [0, 2, 5],
              [9, 4, 3]])

b = np.array([[2, 2, 6],
              [9, 6, 2],
              [8, 1, 4]])

# aとbのアダマール積
print(a*b)

# [[ 6  2 42]
#  [ 0 12 10]
#  [72  4 12]]

アダマール積を使うと、 $a_{i j} b_{i j}$ の総和
$a_{11} b_{11} + a_{12} b_{12} + \dots + a_{n n} b_{n n}$
を簡潔なコードで実装できます。すなわち行列 $a_{i j}$ と $b_{i j}$ を用意しておいて、アダマール積をとってから、numpy.sum() ですべての成分の和をとります。たとえば、In[1] で定義した行列 a, b の成分ごとの積の和は以下のように計算できます。

# In[2]

# 行列 a, b の成分ごとの積の和
s = np.sum(a*b)

print(s)
# 160

これは機械学習などでも用いられる実践的な手法です。

sympy.matrix_multiply_elementwise()

SymPy では * 演算子は行列積を実行します。
アダマール積は matrix_multiply_elementwise() を使って計算します。

# SymPy_Hadamard_product

# In[1]

from sympy import Symbol, var, init_printing
from sympy.matrices import Matrix
from sympy.matrices import matrix_multiply_elementwise

init_printing()

# 一般表記の行列生成関数
def general_matrix(m, n, s):
    Symbol(s)
    elements = lambda i,j : var('{}{}{}'.format(s, i+1, j+1))
    return Matrix(m, n, elements)

a = general_matrix(3, 3, "a")
b = general_matrix(3, 3, "b")

# aとbのアダマール積を計算
aob = matrix_multiply_elementwise(a, b)

# a,b,aobを表示
display(a, b, aob)

\begin{aligned} [\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}] \\ [\begin{array}{c} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array}] \\ [\begin{array}{c} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & a_{13} b_{13} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & a_{23} b_{23} \\ a_{31} b_{31} & a_{32} b_{32} & a_{33} b_{33} \end{array}] \end{aligned}