階数・退化次数の定理

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階数・退化次数の定理

次のような矩形行列 $A$ の階数 (rank) を考えます。
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 5\\ 1& 1& 2& 2\\ 2& 2& 4& 4\end{array}\right]\end{array}$$
1 列目と 2 列目を加えると 3 列目になるので、3 列目を基底から除きます。
残りの列で行列式をつくると
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \left|\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right|=0\end{array}$$
となるので、この 3 つのベクトルも線形独立ではありません。1 列目と 2 列目が互いに平行でないのは明らかなので基底として採用します ($A$ の階数は $2$)。$\mathit{a}$ と $\mathit{b}$ が張る空間を $<\mathit{a},\mathit{b}>$ のように表すことにすると、$A$ の列空間は
 $$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathbb{C}(A)=⟨\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]⟩\end{array}$$
となります。$\mathbb{C}(A)$ の次元は行列 $A$ の階数と同義です：
 $$\dim \mathbb{C}(A)=\mathrm{rank}A=2$$
次に $A$ の行空間を考えます。$A$ の 2 行目と 3 行目は平行なので、行空間は 1 行目と 2 行目のベクトルが張る空間です。
 $$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathbb{C}(A^T)=⟨\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 2\end{array}\right]⟩\end{array}$$
$\mathbb{C}(A^T)$ の次元は $2$ であり、$\mathbb{C}(A)$ の次元と一致しています。証明は省略しますが、一般に列空間と行空間の次元が等しいことが知られています：
 $$\begin{array}{}\text{(5)}& \dim \mathbb{C}(A)=\dim \mathbb{C}(A^T)=\mathrm{rank}A\end{array}$$
次は $A$ の核 (零空間) $\mathrm{Ker}A$ を求めてみます。
行列 $A$ を再掲します。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 5\\ 1& 1& 2& 2\\ 2& 2& 4& 4\end{array}\right]\end{array}$$
基本変形を施して、もう少し簡単な形にします。
3 行目から 2 行目の 2 倍を引くと、3 行目は全部 $0$ になります。
 $$\begin{array}{}\text{(6)}& A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 5\\ 1& 1& 2& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$
次に 2 行目から 1 行目を引きます。
 $$\begin{array}{}\text{(7)}& A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 5\\ 1& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$
$A\mathit{x}=\mathbf{0}$ より、
 $$\begin{array}{}\text{(8)}& \left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 5\\ 1& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$
したがって、次の 2 式が得られます。
 $$\begin{array}{}\text{(9)}& & y+z+5w=0\text{(10)}& & x+z-3w=0\end{array}$$
求める $\mathit{x}$ は
 $$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathit{x}=\left[\begin{array}{c}-z+3w\\ -z-5w\\ z\\ w\end{array}\right]=z\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+w\left[\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
となります。すなわち、$A$ の核 (零空間) は
 $$\begin{array}{}\text{(12)}& \mathrm{Ker}A=⟨\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\\ 1\end{array}\right]⟩\end{array}$$
となります。核の次元は $2$ であり、$A$ の列数 $4$ から $A$ の階数 $2$ を引いた値となっています。一般に $m\times n$ の行列 $A$ について、
 $$\begin{array}{}\text{(13)}& \dim (\mathrm{Ker}A)+\mathrm{rank}A=n\end{array}$$
が成り立つことが知られています。核の次元 $\dim (\mathrm{Ker}A)$ のことを退化次数 (nullity) とよぶことから、式 (13) は 階数・退化次数の定理 という名称が与えられています。$A$ の転置行列 $A^T$ の列数は $m$ となるので、階数・退化次数の定理により、
 $$\begin{array}{}\text{(14)}& \dim (\mathrm{Ker}{A}^T)+\mathrm{rank}{A}^T=m\end{array}$$
が成り立ちます。式 (5) より、転置によって行列の階数は変わらないので ($\mathrm{rank}{A}^T=\mathrm{rank}A$)、(14) は
 $$\begin{array}{}\text{(15)}& \dim (\mathrm{Ker}{A}^T)+\mathrm{rank}A=m\end{array}$$
のように書き直すことができます。(1) で定義された行列 $A$ の転置行列に 階数・退化次数の定理 を適用すると、
 $$\begin{array}{}\text{(16)}& \dim (\mathrm{Ker}{A}^T)+2=3\end{array}$$
となるので、$A$ の左零空間の次元は $1$ となることがわかります。
 
(5), (13), (15) は部分空間の構造を示す重要な定理なので、以下にまとめておきます。
 $$\begin{array}{}\text{(17)}& & \dim \mathbb{C}(A)=\mathrm{rank}A\text{(18)}& & \dim \mathbb{C}(A^T)=\mathrm{rank}A\text{(19)}& & \dim (\mathrm{Ker}A)+\mathrm{rank}A=n\text{(20)}& & \dim (\mathrm{Ker}{A}^T)+\mathrm{rank}A=m\end{array}$$
(1) で定義した行列 $A$ について、階数・退化次数の定理 を確認するコードを載せておきます。

# python_rank_nullity_theorem

# In[1]

import numpy as np
from scipy import linalg

# 3×4の行列を定義
A = np.array([[0, 1, 1, 5],
              [1, 1, 2, 2],
              [2, 2, 4, 4]])

# Aの階数
rank_A = np.linalg.matrix_rank(A)

# Aの核
Ker_A = linalg.null_space(A)

# Aの左零空間
Ker_AT = linalg.null_space(A.T)

# 核の次元(退化次数)
dim_Ker_A = Ker_A.shape[1]

# 左零空間の次元
dim_Ker_AT = Ker_AT.shape[1]

print("階数 : {}".format(rank_A))
print("核の次元 : {}".format(dim_Ker_A))
print("左零空間の次元 : {}".format(dim_Ker_AT))
print("階数 + 核の次元 : {}".format(rank_A+dim_Ker_A))
print("階数 + 左零空間の次元 : {}".format(rank_A+dim_Ker_AT))

# 階数 : 2
# 核の次元 : 2
# 左零空間の次元 : 1
# 階数 + 核の次元 : 4
# 階数 + 左零空間の次元 : 3

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