天井関数
天井関数 (ceiling function) は、ある実数 $x$ に対して $x$ 以上の最大の整数を返す関数です。$\lceil x \rceil$ あるいは $\mathrm{ceil}(x)$ の記号で表されます。
Python の math.ceil(x) を使って、天井関数の戻り値を確認してみましょう。
# PYTHON_CEILING_FUNCTION
# In[1]
import math
# 天井関数の計算例
a = math.ceil(5)
b = math.ceil(3.14)
c = math.ceil(-3.14)
print("ceil(5):", x)
print("ceil(3.14):", x)
print("ceil(-3.14):", x)
# ceil(5): 5
# ceil(3.14): -3
# ceil(-3.14): -3
NumPy にはユニバーサルな天井関数 numpy.ceil() が用意されています。numpy.ceil() を使って、天井関数のグラフをプロットしてみましょう。
# In[2]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# データを作成
xx_1 = np.linspace(-4, 4, 65)
xx_2 = np.arange(-4, 5)
yy_1 = np.ceil(xx_1)
yy_2 = np.ceil(xx_2)
yy_3 = xx_2 + 1
# 描画エリアの設定
fig, ax = plt.subplots()
ax.grid()
ax.set_title("Ceiling function", fontsize=16)
ax.set_xlabel("x", fontsize=15)
ax.set_ylabel("ceil(x)", fontsize=15)
ax.set_xlim(-4, 4)
ax.set_ylim(-4, 4)
# 天井関数をプロット
ax.scatter(xx_1, yy_1, marker="_", c="blue")
ax.scatter(xx_2, yy_2, c="blue")
ax.scatter(xx_2, yy_3, facecolor='None', edgecolors='blue')
plt.show()
図を見やすくするために、x が整数値となる座標に ● と ○ を添えてあります。○ はそこで天井関数が値をとらないことを示しています。
math.ceil()
math.ceil(x) は x 以上の最小の整数を返す 天井関数 です。引数が負のときは 0 に近いほうの整数が返ります。
# PYTHON_MATH_CEIL
# In[1]
import math
# ceil(1.5)
a = math.ceil(1.5)
# ceil(-4.5)
b = math.ceil(-4.5)
print("ceil(1.5):", a)
print("ceil(-4.5):", b)
# ceil(1.5): 2
# ceil(-4.5): -4
numpy.ceil()
numpy.ceil() に数値を渡すと、x 以上の最小の整数を返します。引数が負のときは 0 に近いほうの整数を返します。
# NUMPY_CEIL
# In[1]
import numpy as np
x = np.array([10.5, -13.5])
# 天井関数
y = np.ceil(x)
print(y)
# [11. -13.]
床関数
床関数 (floor function) は、ある実数 $x$ に対して $x$ 以下の最大整数を返します。$\lfloor x \rfloor,\ \mathrm{floor}(x)$ の記号で表します。math モジュールに床関数 math.floor(x) が用意されています。以下に計算例を示します。
# PYTHON_FLOOR_FUNCTION
# In[1]
import math
# floor(10)
a = math.floor(10)
# floor(e)
# eはネイピア数 2.718...
b = math.floor(math.e)
# floor(-2.5)
c = math.floor(-2.5)
print("floor(10):", a)
print("floor(e):", b)
print("floor(-2.5):", c)
# floor(10): 10
# floor(e): 2
# floor(-2.5): -3
この実行結果からわかるように、$\lfloor -2.5 \rfloor$ は $-2$ ではなく、$-3$ であることに注意してください。numpy.floor() 関数を使って床関数をプロットしてみます。
# In[2]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# データを作成
xx_1 = np.linspace(-4, 4, 65)
xx_2 = np.arange(-4, 5)
yy_1 = np.floor(xx_1)
yy_2 = np.floor(xx_2)
yy_3 = xx_2 - 1
# 描画エリアの設定
fig, ax = plt.subplots()
ax.grid()
ax.set_title("Floor function", fontsize=16)
ax.set_xlabel("x", fontsize=15)
ax.set_ylabel("floor(x)", fontsize=15)
ax.set_xlim(-4, 4)
ax.set_ylim(-4, 4)
# 床関数をプロット
ax.scatter(xx_1, yy_1, marker="_", c="blue")
ax.scatter(xx_2, yy_2, c="blue")
ax.scatter(xx_2, yy_3, facecolor='None', edgecolors='blue')
plt.show()
math.floor()
math.floor(x) は x 以上の最大の整数を返す床関数です。引数が負のときは 0 から遠いほうの整数が返ります。
# PYTHON_MATH_FLOOR
# In[1]
import math
# floor(3.8)
a = math.floor(3.8)
# floor(-7.6)
b = math.floor(-7.6)
print("floor(3.8):", a)
print("floor(-7.6):", b)
# floor(3.8): 3
# floor(-7.6): -8
numpy.floor()
numpy.floor() に数値を渡すと、x 以上の最大の整数を返します。引数が負のときは 0 から遠いほうの整数を返します。引数として配列を渡した場合は要素をすべて切り捨てます。
# NUMPY_FLOOR
# In[1]
import numpy as np
x = np.array([10.5, -13.5])
# xの各要素の床関数
y = np.floor(x)
print(y)
# [10. -14.]
整数部分を取得する関数
math.trunc()
math.trunc() は渡された数値の小数部分を捨てて、整数部分を取得する関数です。戻り値は必ず整数となります。たとえば 10.0 のような浮動小数点数が渡されると整数 10 が返ります。
# PYTHON_MATH_TRUNC
# In[1]
import math
# 数値の整数部分を取得
a = math.trunc(3.14)
b = math.trunc(-3.14)
c = math.trunc(10.0)
print([a, b, c])
# [3, -3, 10]
下記は誤植と思われますので、ご確認ください。
「床関数」の下の文章で、⌊x⌋, floor(x), [x] などの記号 → ⌊x⌋, floor(x) の記号
ceil( ) や floor( ) の引数が負のときに、「0 に近いほうの整数」や「0 から遠いほうの整数」が返るという表現は、負数の大小を考える必要がなくていいと思いました。
ありがとうございます。
「0に近いほうの整数」「0から遠いほうの整数」は、床関数や天井関数を考えるときに私自身の頭が混乱しないように工夫した表現です。