補数表現

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補数 (complement)

この記事では 補数 (complement) について解説します。補数は計算機理論を学ぶ上で欠かせない概念です。基本情報技術者試験などにも頻繁に登場する用語なので、プログラマーを目指す皆さんもしっかり押さえておきたいところです。

補数の定義

「補数」なんて初めて聞くと、いかにも技術的な雰囲気がして難しそうに思えますが、実はとても簡単です。厳密な定義から始めると、簡単なことまで不必要にややこしく感じてしまうので、具体例から始めます。ひとまずは $10$ 進数で考えることにします。
 
 $8$ に対する $10$ の補数は $2$
 $35$ に対する $10$ の補数は $65$
 $426$ に対する $10$ の補数は $574$
 
これが補数の考え方です。勘の良い人であれば、これを見ただけで理解できると思います。言い換えるとこんなふうになります。
 
 $8$ に足して $10$ になる数は $2$
 $35$ に足して $100$ になる数は $65$
 $426$ に足して $1000$ になる数は $574$

初学者にとって少々混乱のもとになるのが、「$8$ に対する $10$ の補数は $2$」を、簡略して「$8$ の補数は $2$」のように書くことがある点です。しかし、この表現だと明らかに情報が足りず、$2$ 進数における「$1$ の補数」と「$2$ の補数」の意味を考えるときに混乱します。多少面倒ですが、「$a$ に対する $b$ の補数」という表現を定着させたほうが良いと思います。$b$ は基数で、$10$ 進数ならば $b=10$ です。

補数にはもう $1$ 種類あります。これも具体例で考えると難しくありません。
 
 $8$ に対する $9$ の補数は $1$
 $35$ に対する $9$ の補数は $64$
 $426$ に対する $9$ の補数は $573$
 
言い換えると次のようになります。 
 
 $8$ に足して $9$ になる数は $1$
 $35$ に足して $99$ になる数は $64$
 $426$ に足して $999$ になる数は $573$
 
このような補数を 減基数の補数 とよびます。補数の一般的な定義は以下のようになります。
 

$b$ 進数で考えるとき、$n$ 桁の自然数 $a$ に対する基数 $b$ の補数 $c$ を
 \[c=b^n-a\tag{1}\]
と定義し、減基数 $b-1$ の補数を
 \[c’=c-1=b^n-1-a\tag{2}\]
と定義します。

2の補数と1の補数

ここから $2$ 進数で考えます。$10$ 進数で基数 $10$ の補数と減基数 $9$ の補数を考えたのと同じように、$2$ 進数にも「基数 $2$ の補数」と「減基数 $1$ の補数」があります。
 
例として、$(10011)_2$ の補数を求めてみましょう ($10$ 進数で表すと $(19)_{10}$ です) 。$(10011)_2$ に対する $1$ の補数は、$(10011)_2$ に足して $(111111)_2$ となるような数のことです。すなわち
 \[c’=(11111)_2-(10011)_2\tag{3}\]
によって計算できます。計算結果は $(01100)_2$ となりますが、これは引くほうの数 $(10011)_2$ の各桁の $0$ と $1$ を反転させた形となっています。これは $2$ 進数ならではの特性です。コンピュータ内部では各ビットに記録されている $0$ と $1$ を入れ替える操作に当たるので、「ビット反転」とよばれます。
 
$c’$ に $(00001)_2$ を加えると、 $(10011)_2$ に対する $2$ の補数が得られます。
 \[c=c’+(00001)_2=(01101)_2\tag{4}\]
ビット演算で補数を使う利点は、引き算も足し算で処理できることです。一例として、引き算
 
\[28-19\tag{5}\]
を $2$ 進数で考えてみます。$28$ と $19$ をそれぞれ $2$ 進数で表すと、
 \[\begin{align*}(28)_{10}=(11100)_2\\[6pt](19)_{10}=(10011)_2\end{align*}\tag{6}\]
となります。計算結果を $x$ とおくと
 \[(11100)_2-(10011)_2=x\tag{7}\]
と表せます。左辺に補数をつくるために、両辺に $(100000)_2$ を加えます。
 \[(11100)_2+(100000)_2-(10011)_2=x+(100000)_2\tag{8}\]
$(100000)_2-(10011)_2$ は $(10011)_2$ に対する $2$ の補数です。さらに、この式は $1$ の補数 $(11111)_2-(10011)_2$ を使って
 \[(11100)_2+(11111)_2-(10011)_2+(00001)_2=x+(100000)_2\tag{9}\]
と書き直せます。$1$ の補数は $0$ と $1$ を反転させればよいので、
 \[(11100)_2+(01100)_2+(00001)_2=x+(100000)_2\tag{10}\]
となります。左辺の足し算を計算すると
 \[(101001)_2=x+(100000)_2\tag{11}\]
となります。両辺から $(100000)_2$ を落とせば(最上位の桁を削除すると)
 \[x=(01001)_2\tag{12}\]
が得られます。$10$ 進数で表すと $9$ です。以上をまとめると、「$a$ から $b$ を引く操作」は、「$a$ に$b$ のビット反転と $1$ を加えて最上位の桁を落とす操作」に置き換えられます。

実際のコンピュータの固定長整数や固定小数点数演算では、数値を格納するビット数が決まっているので、すべての数を同じ桁数の数として扱います。たとえば、$8$ ビットでは、$(101)_2$ のような数であっても、空白の桁に $0$ を入れて、$(00000101)_{2}$ のように $8$ 桁に揃えます。
 
コンピュータでは、数値 $a$ の負数 $-a$ を数値 $a$ に対する $2$ の補数と決めることがあります。この定義を使うと、符号を表すビットが不要となり、上で説明したように減算を加算で表現できます。たとえば、$a=(00000101)_{2}$ のとき、$-a$ はビット反転して末尾に $1$ を加えることにより、
 \[-a=(11111011)_{2}\tag{13}\]
で表すことになります。

コメント

  1. あとりえこばと より:

    ユーザー名を BlogCat から「あとりえこばと」に変更しました。以前のコメントの表示名は変更されていないようですが、新しいコメントなら大丈夫そうですね …

  2. HNaito より:

    1 の補数と 2 の補数について、冒頭の具体例から始まる説明がとてもわかりやすく、
    「a から b を引く操作は、a に b のビット反転と 1 を加えて最上位の桁を落とす操作」
    がストンと腑に落ちました。ありがとうございました。

    ※式番号の重複がありますので、ご確認ください。

    • あとりえこばと より:

      ありがとうございます。
      そのように言っていただけると、とても励みになります。
      できるだけわかりやすい表現をしようと思いながら記事を執筆しているので、「理解できた!」と言ってもらえるのが一番嬉しいです。

      昔、『基本情報技術者試験』のテキストで学んでいた時、「補数とはある数に対して基準となる数から引いた数のことです」みたいな説明から入っていて、頭の中が「???」となった覚えがあります。「わかりやすい」と評判のテキストでしたが、正直「全然わかりやすくないよ」と思ってしまいました。(^_^;) そういう自分自身の経験を活かしながら記事を執筆しています。とはいえ、技術的なことをわかりやすく説明するのはなかなか難しくて、私自身「ああでもない」「こうでもない」と試行錯誤する毎日です。既存の記事についても時々見直して、必要であれば加筆修正し、より質の高い情報を皆様にお届けしたいと思っています。今後も当サイトをよろしくお願いします。m(_ _)m

      ※式番号を直しておきました。ありがとうございます。