ネイピア数と指数関数

ネイピア数と指数関数

mathモジュールの指数関数

 mathモジュールをインポートすると、math.e, math.exp(x), math.expm1(x) を使えるようになります。

math.e

 math.e にはネイピア数 (自然対数の底) の近似値が格納されています。

# EXP_01

import math

# ネイピア数e
x = math.e

# math.eの桁数
y = len(str(math.e)) - 1

print("e = {}".format(x))
print("桁数 {}".format(y))
e = 2.718281828459045
桁数 16

 

math.exp()

 math.exp(x) は e を底とする 指数関数 ex の値を返します。
 受け取った引数は float型に変換されます。complex型は float型に変換できないので、複素数を引数に指定することができません。

# EXP_02

import math

a = math.exp(1)
b = math.exp(2)
c = math.exp(-1)

print("e = {}".format(a))
print("e**2 = {}".format(b))
print("e**(-1) = {}".format(c))
e = 2.718281828459045
e**2 = 7.38905609893065
e**(-1) = 0.36787944117144233

 math.e と math.exp(1) が一致することを確認しておきます。

# EXP_03

import math

a = math.e
b = math.exp(1)

print(a == b)
True

 

math.expm1()

 math.expm1(x) は指数関数 exp(x) から 1 を引いた値を返します。
 非常に小さな x で exp(x) - 1 を計算すると、減算により桁落ちしますが、expm1()関数は精度を保ちます。下のサンプルコードでは x = 1.0e-5 として、exp(x) - 1 と math.expm1(x) を計算させています。

# EXP_04
import math

a = math.exp(1.0e-5)-1
b = math.expm1(1.0e-5)

print("a = {}".format(a))
print("b = {}".format(b))
a = 1.0000050000069649e-05
b = 1.0000050000166667e-05

 

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NumPy の指数関数

 NumPyをインポートすると、numpy.e, numpy.exp(x) を扱うことができます。NumPy の関数は ndarray という多次元配列を引数として与えると ndarray で返すユニバーサル関数です。

numpy.e

 numpy.e はネイピア数(自然対数の底) の近似値を呼び出します。

# EXP_05
import numpy as np

# ネイピア数(自然対数の底)
print(np.e)
2.718281828459045

 

numpy.exp()

 numpy.exp(x) は指数関数 ex を返します。

# EXP_06-1
import numpy as np

# 変数 x = 0, 1, 2
x = np.array([0, 1, 2])

# exp(0), exp(1), exp(2) を計算
y = np.exp(x)

print(y)
[1.         2.71828183 7.3890561]

 numpy.exp(x) の引数 x には複素数を指定することもできます。

# EXP_06-2

# 複素数変数を定義
z = 5 + 11j

exp_z = np.exp(z)

print(exp_z)
(0.6568318196405344-148.411705625828j)

 複素解析学において、複素変数 z = x + iy の指数関数 exp(z) は
 

exp(z) = exp(x)(cosy + isiny)

によって定義されています。
 

指数関数のグラフ

 Matplotlib を読み込んで 指数関数のグラフ を描画させるサンプルコードです。
 Jupyter Notebook などで使ってみてください。

# EXP_07

# 指数関数y=exp(x)のグラフ

# モジュールをインポート
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# フィギュアを設定
fig = plt.figure()

# グリッド線を表示
plt.style.use("ggplot")

# グラフ描画領域を追加
ax = fig.add_subplot(111)

# グラフタイトルを設定
ax.set_title("y = exp(x)", fontsize = 16)

# x軸, y軸のラベルを設定
ax.set_xlabel("x", fontsize = 16)
ax.set_ylabel("y", fontsize = 16)

# xのデータを用意
x = np.arange(-2, 4, 0.1)

# yのデータを用意
y = np.exp(x)

# データをプロット
ax.plot(x, y)

指数関数のグラフ
 

SymPy の指数関数

 SymPy をインポートすると記号を使って指数関数を計算できます。

sympy.exp()

 sympy.exp() はネイピア数 e を底とする指数関数を返します。

# EXP_08
import sympy

# 記号xを定義
sympy.var('x y')

# f(x)=exp(x)
f = sympy.exp(x)

# g(y)=exp(y)
g = sympy.exp(y)

# h=f(x)g(y)
h = sympy.simplify(f*g)

print(h)
exp(x + y)