階乗と二重階乗
階乗 とは次式で定義される演算です。
\[n!=n\,(n-1)\,(n-2) \cdots 2 \cdot 1, \quad 0!=1\]
たとえば、$5$ の階乗は
\[5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\]
のように計算します。階乗計算は単純な再帰アルゴリズムで実装できます:
\[f(n)=nf(n-1)\]
たとえば $4!$ を計算するときには、$f=4$ からスタートして、$f$ と自然数 $3,\ 2,\ 1$ の積を順次 $f$ 自身に代入していきます。
\[\begin{align*}&f=4\\[6pt]&f=f\times 3\\[6pt]&f=f\times 2\\[6pt]&f=f\times 1\end{align*}\]
Python で階乗関数を実装してみましょう。
# PYTHON_FACTORIAL
# In[1]
# 階乗関数
def fact(x):
if x == 0:
return 1
else:
return x * fact(x - 1)
print(fact(30))
# 265252859812191058636308480000000
math モジュールには階乗を計算する factorial() が用意されています。
# In[2]
import math
# 30の階乗を計算
val = math.factorial(30)
print(val)
# 265252859812191058636308480000000
二重階乗 は
\[\begin{align*}n!!&=n\,(n-2)\,(n-4) \cdots 3 \cdot 1\quad (n=\mathrm{odd\:number})\\[6pt]n!!&=n\,(n-2)\,(n-4) \cdots 4 \cdot 2\quad (n=\mathrm{even\:number})\\[6pt]0!!&=(-1)!!=1\\[6pt]\end{align*}\]
によって定義されます。たとえば、$5$ の二重階乗を計算すると
\[5!!=5\cdot 3\cdot 1=15\]
となります。
math.factorial()
math.factorial(x) は x の 階乗 を返します。
引数 x に非整数や負数を渡すと ValueError を返します。
# MATH_FACTORIAL
# In[1]
# mathモジュールをインポート
import math
# 10の階乗を計算
val = math.factorial(10)
print(val)
# 3628800
scipy.special.factorial()
scipy.special.factorial() は整数 n を受け取って n の階乗 を返します。
デフォルト (exact = False) では処理速度を優先して近似計算を実行しますが、exact に True を渡すと正確な値を返します。
# SCIPY_FACTORIAL
# In[1]
from scipy import special
n = 50
# n!を近似計算
val = special.factorial(n)
print(val)
# 3.041409320171338e+64
# In[2]
# n!の正確な値を計算
val = special.factorial(n, True)
print(val)
# 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
mpmath.factorial()
mpmath.factorial() あるいは mpmath.fac() を使うと、任意精度で階乗計算を実行できます。
# MPMATH_FACTORIAL
# In[1]
from mpmath import *
# 精度を10桁に設定
mp.dps = 10
# 10の階乗
x = factorial(10)
print(x)
# 3628800.0
引数に巨大数を受け取った場合は、スターリングの近似公式を使って階乗の近似値を計算します。
# In[2]
# スターリングの公式を使って巨大数の階乗を計算
x = factorial(10**15)
print(x)
# 1.178796412e+14565705518096756
mpmath.fac2()
mpmath.fac2(x) は $x$ の二重階乗 $x!!$ を返します。
# PYTHON_FACTORIAL_2
# In[1]
from mpmath import *
# 精度を10桁に設定
mp.dps = 10
# 15!!を計算
val = fac2(15)
print(val)
# 2027025.0
sympy.factorial()
sympy.factorial(x) は x の階乗を返します。
# SYMPY_FACTORIAL
# In[1]
import sympy
# 10!を計算
val = sympy.factorial(10)
print(val)
# 362880
SymPy は記号計算に対応するパッケージなので、引数に文字式を渡すと factorial オブジェクトが生成されます。
# In[2]
# 記号nを定義
sympy.var('n')
# (n+2)!を計算
s = sympy.factorial(n + 2)
print(s)
# factorial(n + 2)
$(n+2)!$ を $n!$ で割ると $(n+2)(n+1)$ になることを確認してみましょう。
# In[3]
# n!を計算
t = sympy.factorial(n)
# (n+2)!をn!で割って数式を簡略化する
expr = sympy.simplify(s/t)
print(expr)
# (n + 1)*(n + 2)
sympy.factorial2()
sympy.factorial2(x) は x の 二重階乗 を返します。
# SYMPY_FACTORIAL_2
# In[1]
import sympy
# 10の二重階乗を計算
val = sympy.factorial2(10)
print(val)
# 3840
【ChatGPTが階乗について解説します】
階乗(かいじょう)は、自然数(1, 2, 3, 4, …)から始まる連続した数をかけ合わせる操作です。中学生に理解しやすくするため、以下の例を使って説明してみましょう。例えば、5の階乗を求める場合、1から5までの自然数をかけ合わせます。
5の階乗 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
これを計算すると、5の階乗は120になります。階乗の記号は「!」(エクスクラメーションマーク)を使って表されます。したがって、5の階乗は5!と書かれます。階乗は、物事の順番や組み合わせなど、さまざまな数学的な問題で使われます。たとえば、順列や組み合わせの式に階乗が現れることがあります。階乗の計算は次のように行われます:
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
このように、階乗は自然数を小さい方から順番にかけ合わせることで計算されます。
【ChatGPTがPythonで階乗を計算する方法を解説します】
生徒:先生、Pythonで階乗を計算する方法を教えていただけますか?
先生:もちろんです。階乗を計算するには、いくつの階乗を求めたいかを指定し、それを計算するための関数を作成します。Pythonでは、再帰的なアプローチやループを使って階乗を計算することができます。どちらの方法を使って説明しましょうか?
生徒:両方の方法について教えていただけますか?
先生:もちろんです。まず、再帰的なアプローチから始めましょう。再帰関数を使用すると、関数自体の中で自身を呼び出すことができます。階乗の再帰的な計算は以下のようになります。
この関数では、nが0になったときに再帰が終了します。それ以外の場合、nをn-1で再帰的に掛け続けることで階乗を計算します。
生徒: 分かりました。では、具体的な例を見せていただけますか?
先生: もちろんです。例えば、5の階乗を計算する場合は次のようにします。
結果として、120が表示されます。
生徒: 理解しました。次にループを使った方法について教えていただけますか?
先生: はい、次はループを使った方法です。ループを使って階乗を計算するには、1からnまでの数を順番に掛け合わせていく方法です。
の関数では、1からnまでの数を順番に掛け合わせていくためにループを使用しています。
生徒: なるほど、再帰的なアプローチとループを使ったアプローチがありますね。どちらを使えばいいですか?
先生: どちらの方法を使っても階乗を計算することができますが、一般的には小さい数の階乗ではどちらの方法も効率的です。ただし、非常に大きな数の階乗を計算する場合は、再帰的なアプローチはスタックの深さによる制約がありますので、ループを使ったアプローチが好まれます。
生徒: 分かりました。ありがとうございました!