階乗の計算

階乗と二重階乗

　階乗 とは次式で定義される演算です。
　
\[n!=n\,(n-1)\,(n-2) \cdots 2 \cdot 1, \quad 0!=1\]
　たとえば、$5$ の階乗は
　
\[5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\]
のように計算します。階乗計算は単純な再帰アルゴリズムで実装できます：
　
\[f(n)=nf(n-1)\]
　たとえば $4!$ を計算するときには、$f=4$ からスタートして、$f$ と自然数 $3,\ 2,\ 1$ の積を順次 $f$ 自身に代入していきます。
　
\[\begin{align*}&f=4\\[6pt]&f=f\times 3\\[6pt]&f=f\times 2\\[6pt]&f=f\times 1\end{align*}\]
　Python で階乗関数を実装してみましょう。

# PYTHON_FACTORIAL

# In[1]

# 階乗関数
def fact(x):
    if x == 0:
        return 1
    else:
        return x * fact(x - 1)

print(fact(30))
# 265252859812191058636308480000000

　math モジュールには階乗を計算する factorial() が用意されています。

# In[2]

import math

# 30の階乗を計算
val = math.factorial(30)

print(val)
# 265252859812191058636308480000000

　二重階乗 は
　
\[\begin{align*}n!!&=n\,(n-2)\,(n-4) \cdots 3 \cdot 1\quad (n=\mathrm{odd\:number})\\[6pt]n!!&=n\,(n-2)\,(n-4) \cdots 4 \cdot 2\quad (n=\mathrm{even\:number})\\[6pt]0!!&=(-1)!!=1\\[6pt]\end{align*}\]
によって定義されます。たとえば、$5$ の二重階乗を計算すると
　
\[5!!=5\cdot 3\cdot 1=15\]
となります。

math.factorial()

　math.factorial(x) は x の 階乗 を返します。
　引数 x に非整数や負数を渡すと ValueError を返します。

# MATH_FACTORIAL

# In[1]

# mathモジュールをインポート
import math

# 10の階乗を計算
val = math.factorial(10)

print(val)
# 3628800

scipy.special.factorial()

　scipy.special.factorial() は整数 n を受け取って n の階乗 を返します。
　デフォルト (exact = False) では処理速度を優先して近似計算を実行しますが、exact に True を渡すと正確な値を返します。

# SCIPY_FACTORIAL

# In[1]

from scipy import special

n = 50

# n!を近似計算
val = special.factorial(n)

print(val)
# 3.041409320171338e+64


# In[2]

# n!の正確な値を計算
val = special.factorial(n, True)
print(val)
# 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

mpmath.factorial()

　mpmath.factorial() あるいは mpmath.fac() を使うと、任意精度で階乗計算を実行できます。

# MPMATH_FACTORIAL

# In[1]

from mpmath import *

# 精度を10桁に設定
mp.dps = 10

# 10の階乗
x = factorial(10)

print(x)
# 3628800.0

　引数に巨大数を受け取った場合は、スターリングの近似公式を使って階乗の近似値を計算します。

# In[2]

# スターリングの公式を使って巨大数の階乗を計算
x = factorial(10**15)

print(x)
# 1.178796412e+14565705518096756

mpmath.fac2()

　mpmath.fac2(x) は $x$ の二重階乗 $x!!$ を返します。

# PYTHON_FACTORIAL_2

# In[1]

from mpmath import *

# 精度を10桁に設定
mp.dps = 10

# 15!!を計算
val = fac2(15)

print(val)
# 2027025.0

sympy.factorial()

　sympy.factorial(x) は x の階乗を返します。

# SYMPY_FACTORIAL

# In[1]

import sympy

# 10!を計算
val = sympy.factorial(10)

print(val)
# 362880

　SymPy は記号計算に対応するパッケージなので、引数に文字式を渡すと factorial オブジェクトが生成されます。

# In[2]

# 記号nを定義
sympy.var('n')

# (n+2)!を計算
s = sympy.factorial(n + 2)

print(s)
# factorial(n + 2)

　$(n+2)!$ を $n!$ で割ると $(n+2)(n+1)$ になることを確認してみましょう。

# In[3]

# n!を計算
t = sympy.factorial(n)

# (n+2)!をn!で割って数式を簡略化する
expr = sympy.simplify(s/t)

print(expr)
# (n + 1)*(n + 2)

sympy.factorial2()

　sympy.factorial2(x) は x の 二重階乗 を返します。

# SYMPY_FACTORIAL_2

# In[1]

import sympy

# 10の二重階乗を計算
val = sympy.factorial2(10)

print(val)
# 3840