べき乗演算

べき乗演算

　Python で べき乗 (冪乗) を計算させるには、次のような方法があります。

　① 算術演算子「 ** 」を使う。
　② 組み込みの pow()関数を使う。
　③ mathモジュールの pow()関数を使う。
　④ NumPy パッケージの numpy.pow() を使う。

　それぞれの機能が微妙に異なっているので、実例 (サンプルコード) を使いながら順に解説していきます。

べき乗演算子

　算術演算子「 ** 」を用いて 「 x の y 乗」を計算するときは次のように記述します。

　x は底、y は指数です。いずれもべき演算が定められている範囲において、整数、浮動小数点数、複素数を指定することができます。

# PYTHON_POWER_01

# ベキ演算
a = 10 ** 2
b = 10 ** 1.5
c = 10 ** -2
d = 10.0 ** 3
e = (2 + 3j) ** 3

print("a =", a)
print("b =", b)
print("c =", c)
print("d =", d)
print("e =", e)

a = 100
b = 31.622776601683793
c = 0.01
d = 1000.0
e = (-46+9j)

　数学においては、0 の 0 乗は分野によって定義・未定義が分かれるところですが、Python では $0^0 = 1$ と定義されています。

# PYTHON_POWER_02

# 0の0乗
a = 0 ** 0
b = 0.0 ** 0.0
c = 0j ** 0j

print("a =", a)
print("b =", b)
print("c =", c)

a = 1
b = 1.0
c = (1+0j)

　これは解析学の研究などで Python を活用するときに、本来なら未定義であるはずの値が出力されてしまうという危険性を孕んでいます。$0^0$ が定義されない分野においては、ループ処理などで変数に $0^0$ の演算結果が入り込まないように細心の注意を払う必要があります。
　

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組み込み関数pow()

　Python にビルト・インされている（組込まれている）pow()関数 は次のような記法で呼びだします。

　引数の指定が 2 つであれば、算術演算子 ** と同じはたらきをします。

# PYTHON_POWER_03

# べき乗演算
a = pow(10, 2)
b = pow(10, 1.5)
c = pow(10, -2)
d = pow(10.0, 3)
e = pow(2 + 3j, 3)

print("a =", a)
print("b =", b)
print("c =", c)
print("d =", d)
print("e =", e)

a = 100
b = 31.622776601683793
c = 0.01
d = 1000.0
e = (-46+9j)

　オプション引数 z を指定すると、x の y 乗を z で割ったときの剰余（余り）を返します。

# PYTHON_POWER_04

# 10の2乗を7で割った余り
a = pow(10, 2, 7)

print(a)

2

　pow(x, y, z) は pow(x, y) % z よりも高速で処理できるように設計されています。べき乗の剰余というのは、数論の分野で多用される演算です。興味のあるかたは 整数論入門講座 の各記事を参照してください。
　

math.pow()

　標準ライブラリの mathモジュールをインポートすると、math.pow() が使えるようになります。

　算術演算子「 ** 」や組み込みの pow()関数とは異なり、math.pow()関数は与えられた 2 つの引数の型が何であっても、浮動小数点数型に変換して演算します。もちろん戻り値も浮動小数点数となります。複素数型は浮動小数点数型に変換できないので、math.pow では引数に複素数を指定するとエラーを返します。

# PYTHON_POWER_05-1

import math

# ベキ演算
a = math.pow(10, 2)
b = math.pow(10, 1.5)
c = math.pow(10, -2)
d = math.pow(10.0, 3)
e = math.pow(0, 0)

print("a =", a)
print("b =", b)
print("c =", c)
print("d =", d)
print("e =", e)

a = 100.0
b = 31.622776601683793
c = 0.01
d = 1000.0
e = 1.0

　math.pow()関数は底 x に負数、指数 y に整数以外の数値を指定するとエラーを返します。ただし、y が浮動小数点数型であっても、1.0 や 2.0 のように値が整数であれば問題ありません。

# PYTHON_POWER_05-2

# math.pow()関数によるべき乗演算
a = math.pow(-2, 3.0)

print(a)

-8.0

　このように、math.pow() は算術演算子「 ** 」や組み込みの pow() に比べると演算機能が限定されていますが、これは実数範囲での指数演算の規則に合致するものです。これは通常の計算においては、おかしな値が入れられたときにエラーを返して警告してくれる math.pow() のほうが利用しやすいことを意味します。「負数の非整数乗」のような演算は用途が限られています。これについては、以下で簡単に補足しておきます。
　

numpy.power()

　numpy.power() は第 1 引数に受け取った配列の各要素を、第 2 引数の配列の各要素でべき乗するユニバーサル関数です。

# PYTHON_POWER_06-1

# 底となる配列を定義
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

# 指数部の配列を定義
n = np.array([1, 2, 1, 2, 1])

# xのn乗を計算
y = np.power(x, n)

print(y)

[ 1  4  3 16  5]

　第 1 引数と第 2 引数の間にはブロードキャスト機能がはたらきます。たとえば、第 2 引数に整数 (integer) k を渡した場合、第 1 引数のすべての要素を k 倍します。

# PYTHON_POWER_06-2

# xの各要素を2乗
z = np.power(x, 2)

print(y)

[ 1  4  3 16  5]

実数範囲を超えたベキ演算

　算術演算子「 ** 」もしくは組み込みの pow() を使うと、「－10 の 0.2 乗」や「 2 の i 乗」といった演算をさせても値を返してきます。

# PYTHON_POWER_07

# 底が負数のベキ演算
a = (-10) ** 0.2

# 複素数ベキ
b = 2 ** 1j

print("a =", a)
print("b =", b)

a = (1.282205526970205+0.931576844987379j)
b = (0.7692389013639721+0.6389612763136348j)

　この演算の意味を理解するには「複素解析学」という専門知識が必要となります。ある分野の研究には、こうした演算も必要となるかもしれません。しかし、あくまで実数範囲で指数計算を行なう場合は、この機能はかえって危険なものとなりえます。実数範囲で定義されないはずの仕方で引数が指定されたとしても、例外処理がなされずに値を返してくるからです。上のサンプルコードにあるように「－10 の 0.2 乗」は引数がともに実数なので、いかにも「ありそうな演算」に思えて見過ごしてしまうかもしれません（演算結果は複素数になっています！）。実数範囲でベキ演算を安全に行うためには、演算機能を制限した math.pow() を使用したほうがいいかもしれません。