【SymPy】級数展開

ベキ級数展開

ある関数 $f(x)$ を $x$ のベキ級数（整級数）
 \[a_0+a_1(x-x_0)^1+a_2(x-x_0)^2+\cdots\]
で表すことを 関数の 級数展開 といいます。無限に項をとることによって、理論上は関数と級数展開は厳密に一致しますが、実用のために有限項で打ち切っても、適切な数の項をとることによって、ベキ級数は $x=x_0$ の近くで関数の良い近似を与えます (ただし、$x$ が $x_0$ から離れるほどその精度は下がっていきます)。たとえば、$\sin x$ のマクローリン級数
 \[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\: \cdots\]
などは級数展開の代表的な例の１つです。

sympy.series()

SymPy パッケージ の sympy.series() を使うと任意の関数をベキ級数展開できます。
以下のコードは Jupyter notebook の使用を前提に記述されています。
最初に必要な関数をまとめてインポートしておきます。

# SYMPY_SERIES

# In[1]

from sympy import init_printing, var, series, poly, cos, sin

# 数式をLaTeX表示
init_printing()

# シンボルxを定義
var('x')

$\sin x$ を $x=0$ の近くで級数展開してみましょう。

# In[2]

# sinxをx=0の周りで級数展開
series(sin(x), x)

デフォルト設定では、$x^6$ 以降の項はすべて O(x**6) にまとめられています。オプション引数 n でこの設定を変更することができます。たとえば、O(x**7) まで級数を表示したい場合は次のように記述します。

# In[3]

# sinxをx=0の周りで級数展開
series(sin(x), x, n=8)

オプション引数 x0 で展開の中心点を指定できます (デフォルトは 0)。$\sin x$ を $x=1$ のまわりで展開してみます。

# In[4]

# sinxをx=1の周りで級数展開
series(sin(x), x, x0=1)

sympy.series() で得た式を sympy.poly() で多項式クラス (sympy.polys.polytools.Polyクラス) のオブジェクトに変換しておくと、色々なメソッドが使えるようになって便利です。$\cos x$ を級数展開して、coeffs()メソッドで $x^n$ の係数をすべて取り出してみます。

# In[5]

# cosxをx=0の周りで級数展開
f = series(cos(x), x, n=10)

# 級数展開された多項式fを表示
display(f)

# fを多項式オブジェクトに変換
g = poly(f)

# 級数の係数をすべて取得
c = g.coeffs()
c.reverse()

# 級数の係数を表示
display(c)

母関数の級数展開

級数 $a_n$ が関数 $p(x)$ を級数展開したときの $x^n$ の係数となっているとき、$p(x)$ は級数 $a_n$ の母関数であるといいます（「級数を生み出す関数」という意味です）。たとえば、前の $2$ つの項を足して次の項をつくるフィボナッチ数列
 \[1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots\]
の母関数は
 \[p(x)=\frac{1}{1-x-x^2}\]
で与えられることが知られています。$p(x)$ を sympy.series() で展開して確認してみましょう。

# In[6]

# フィボナッチ数列の母関数
p = 1/(1 - x - x**2)

# フィボナッチ数列の母関数を級数展開
f = series(p, x, n=10)

display(f)

係数は確かにフィボナッチ数列となっていることがわかります。

# In[7]

# fを多項式オブジェクトに変換
g = poly(f)

# フィボナッチ級数のすべての係数を取得
c = g.coeffs()
c.reverse()

display(c)