三角関数と逆三角関数

【Python】三角関数

math モジュールの math.sin(x), math.cos(x), math.tan(x) は、それぞれ引数 x の正弦(サイン)、余弦 (コサイン)、正接(タンジェント) を返します。引数には整数と浮動小数点数を渡せますが、複素数を指定することはできません。
 
math.sin(x), math.cos(x), math.tan(x) は受け取った角度 x をラジアンとして処理します。

# PYTHON_MATH_TRIGONOMETRIC_01

# In[1]

import math

# 円周率を定義
pi = math.pi

val_sin = math.sin(pi/6)
val_cos = math.cos(pi/6)
val_tan = math.tan(pi/6)

print("sin(pi/6) : {}".format(val_sin))
print("cos(pi/6) : {}".format(val_cos))
print("tan(pi/6) : {}".format(val_tan))

# sin(pi/6) : 0.49999999999999994
# cos(pi/6) : 0.8660254037844387
# tan(pi/6) : 0.5773502691896257

math.tan(x) の扱いには注意が必要です。
本来ならば、$\tan(\pi/2)$ は値をもたないはずです：
 \[\lim_{x\rightarrow \pm\pi/2}\tan x=\mp\infty\]
しかし、math.tan(x) に pi/2 を渡すと非常に大きな値を返してきます。

# In[2]

# 円周率を定義
pi = math.pi

val = math.tan(pi/2)

print("tan(pi/2) : {}".format(val))
# tan(pi/2) : 1.633123935319537e+16

引数が pi/2 の整数倍でも同じことが起こります。数値計算では無理数 $\pi$ を有限桁数の近似値で表すので、このように三角関数の計算で若干の誤差を伴います。プログラムの内容によっては、引数に pi/2 の整数倍が渡されたときは浮動小数点数型の inf (無限大) や -inf (負の無限大) を返すような関数を作るなどの工夫が必要になる場合があります。
 
度数法 (degree) で表された角度の三角関数を計算するときには、math.radians() を使って角度をラジアンに変換してから、math.sin(), math.cos(), math.tan() に渡します。

# PYTHON_MATH_TRIGONOMETRIC

# In[1]

import math

# sin60°,cos60°,tan60°を計算
val_sin = math.sin(math.radians(60))
val_cos = math.cos(math.radians(60))
val_tan = math.tan(math.radians(60))

print("sin60°: {}".format(val_sin))
print("cos60°: {}".format(val_cos))
print("tan60°: {}".format(val_tan))

# sin60°: 0.8660254037844386
# cos60°: 0.5000000000000001
# tan60°: 1.7320508075688767

これだと引数の指定の仕方が面倒なので、度数法の角度をそのまま渡せるような関数を作っておくのも１つの方法です。

# In[2]

# degreeで引数を指定する三角関数の定義
def dsin(x):
    return math.sin(math.radians(x))

def dcos(x):
    return math.cos(math.radians(x))

def dtan(x):
    return math.tan(math.radians(x))

print("sin60°: {}".format(dsin(60)))
print("cos60°: {}".format(dcos(60)))
print("tan60°: {}".format(dtan(60)))

# sin60°: 0.8660254037844386
# cos60°: 0.5000000000000001
# tan60°: 1.7320508075688767

【NumPy】三角関数

NumPyを活用した三角関数の計算についても簡単に解説しておきます。numpy.sin(x), numpy.cos(x), numpy.tan(x) は、それぞれ引数 x の正弦（サイン）、余弦（コサイン）、正接（タンジェント）を返します。引数には整数・浮動小数点数の他に、複素数や配列 (ndarray) を渡すことができます。

# NUMPY_TRIGONOMETRIC

# In[1]

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=3)

# 円周率を定義
pi = np.pi

x = np.array([pi/4, pi/2, pi])

sin_x = np.sin(x)
cos_x = np.cos(x)
tan_x = np.tan(x)

print("sinx:\n{}".format(sin_x))
print("cosx:\n{}".format(cos_x))
print("tanx:\n{}".format(tan_x))

# sinx:
# [7.071e-01 1.000e+00 1.225e-16]
# cosx:
# [7.071e-01  6.123e-17 -1.000e+00]
# tanx:
# [1.000e+00  1.633e+16 -1.225e-16]

複素数の三角関数の計算例も載せておきます。
複素変数 $z$ の三角関数は次のように定義されています：
 \[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\quad \ \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\]　

# In[2]

# 複素数を要素にもつ配列を用意
z = np.array([1j, 1+1j, 1+2J])

# 配列の各要素の三角関数を計算
sin_z = np.sin(z)
cos_z = np.cos(z)
tan_z = np.tan(z)

print("sinz:\n{}".format(sin_z))
print("cosz:\n{}".format(cos_z))
print("tanz:\n{}".format(tan_z))

# sinz:
# [0.   +1.175j 1.298+0.635j 3.166+1.96j ]
# cosz:
# [1.543-0.j    0.834-0.989j 2.033-3.052j]
# tanz:
# [0.   +0.762j 0.272+1.084j 0.034+1.015j]

三角関数のグラフ

Matplotlib.pyplot を読み込んで三角関数のグラフを描画させるサンプルコードを載せておきます。

# NUMPY_TRIGONOMETRIC_PLOT

# In[1]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# フィギュアを設定
fig = plt.figure()

# グリッド線を表示
plt.style.use("ggplot")

# グラフ描画領域を追加
ax = fig.add_subplot(111)

# x軸, y軸のラベルを設定
ax.set_xlabel("x", fontsize = 16)
ax.set_ylabel("y", fontsize = 16)

# -2*pi～2*piまでpi/36刻みのデータを用意
x = np.arange(-2*np.pi, 2*np.pi, np.pi/36)

# yのデータを用意
y1 = np.sin(x)
y2 = np.cos(x)

# 三角関数のグラフをプロット
ax.plot(x, y1, label = "y = sinx")
ax.plot(x, y2, label = "y = cosx")

# 凡例は左下に表示
ax.legend(loc = "lower left")

【SymPy】三角関数

sympy.cos(x), sympy.sin(x), sympy.tan(x) はそれぞれ x の余弦（コサイン）、正弦（サイン）、正接（タンジェント）を返します。

# SYMPY_TRIGONOMETRIC

# In[1]

import sympy

# 記号xを定義
sympy.var('x')

# 円周率
pi = sympy.pi

# f(x) = cosx
func = sympy.cos(x)

print(func.subs(x, pi))
# -1

$\cos x,\ \sin x,\ \tan x$ の逆数をそれぞれ $x$ の正割 (secant)、余割 (cosecant)、余接 (cotangent) とよび、それぞれ $\sec x,\ \csc x,\ \cot x$ という記号で表します：
 \[\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \csc x=\frac{1}{\sin x},\quad \cot x=\frac{1}{\tan x}\]
sympy.sec(x), sympy.csc(x), sympy.cot(x) は、それぞれ x の正割、余割、余接を返します。

# In[2]

# 記号xを定義
x = sympy.Symbol('x')

# 円周率を定義
pi = sympy.pi

f = sympy.sec(x + pi)
g = sympy.csc(x + pi)
h = sympy.cot(x + pi)

print(f)
print(g)
print(h)

# -sec(x)
# -csc(x)
# cot(x)

trigsimp()

sympy.trigsimp() は三角関数の公式を適用して数式を簡略化します。

# SYMPY_TRIGSIMP

# In[1]

from sympy import *
var ("x y")

f = cos(x)**2 + sin(x)**2 + a*sin(x)*cos(x)

# 数式を簡略化
g = trigsimp(f)

print(g)
# a*sin(2*x)/2 + 1

expand_trig()

sympy.expand_trig() は加法定理や倍角公式などを使って三角関数を展開します。

# PYTHON_SYMPY_EXPAND_TRIG

# In[1]

f = sin(x + y) + cos(2*x)

# 加法定理と倍角公式で展開
g = expand_trig(f)

print(g)
# sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x) + 2*cos(x)**2 - 1

【Python】逆三角関数

math モジュールには逆三角関数を求める関数がいくつか用意されています。
math.asin(x) は引数 x の 逆正弦 $\mathrm{Arcsin}(x)$ をラジアン単位で返します。

# PYTHON_MATH_INVERSE_TRIGONOMETRIC

# In[1]

# Arcsin(0.5)
a = math.asin(0.5)

print(a)
# 0.5235987755982989

math.acos(x) は引数 x の 逆余弦 $\mathrm{Arccos}(x)$ をラジアン単位で返します。

# In[2]

# Arccos(0.5)
b = math.acos(0.5)

print(b)
# 1.0471975511965979

math.atan(x) は引数 x の 逆正接 $\mathrm{Arctan}(x)$ をラジアン単位で返します。

# In[3]

# Arctan(0.5)
c = math.atan(0.5)

print(c)
# 0.4636476090008061

math.atan2(y/x) は原点 O と座標 $(x,y)$ を結ぶ直線が $x$ 軸となす角度を $-\pi$ から $\pi$ の範囲で返します。

# In[4]

# 原点Oと(1,1)を結ぶ直線がx軸となす角度
d = math.atan2(1, 1)

# dを度数法に変換
d_deg = math.degrees(d)

print(d)
print(d_deg)
# 0.7853981633974483
# 45.0

【NumPy】逆三角関数

numpy.arcsin(x), numpy.arccos(x), numpy.arctan(x) は、それぞれ x の逆正弦、逆余弦、逆正接を返すユニバーサル関数です。たとえば、$-1$ から $1$ を一定の幅で刻んだ連続データを渡して、逆三角関数のグラフを描くためのデータを作成できます。

# NUMPY_INVERSE_TRIGONOMETRIC

# In[1]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# FigureとAxesを設定
fig = plt.figure(figsize = (5, 5))
ax = fig.add_subplot(111)
ax.grid()
ax.set_xlim([-1, 1])
ax.set_ylim([-3, 3])
ax.set_xlabel("x", fontsize = 15)
ax.set_ylabel("y", fontsize = 15)

# xのデータを用意
x = np.linspace(-1, 1, 513)

# yのデータを用意
y1 = np.arcsin(x)
y2 = np.arccos(x)

# データをプロット
ax.plot(x, y1, color = "red", label = "y = Arcsinx")
ax.plot(x, y2, color = "blue", label = "y = Arccosx")

# 凡例は左下に表示
ax.legend(loc = "lower right")

numpy.arctan2(x, y) は原点 O と座標 $(x,y)$ を結ぶ直線が $x$ 軸となす角度を $-\pi$ から $\pi$ の範囲で返します。

# In[2]

# 原点Oと(1,1)を結ぶ直線がx軸となす角度
ang = np.arctan2(-1, 1)

# dを度数法に変換
ang_deg = np.rad2deg(ang)

print(ang)
print(ang_deg)
# -0.7853981633974483
# -45.0