三角関数と逆三角関数

三角関数と逆三角関数

math 三角関数

 mathモジュールの math.sin(x), math.cos(x), math.tan(x) は、それぞれ引数 x の正弦(サイン)余弦(コサイン)正接(タンジェント)を返します。引数には整数と浮動小数点を渡せますが、複素数を指定することはできません。

角度をラジアンで指定

 math.sin(x), math.cos(x), math.tan(x) は受け取った角度 x をラジアンとして処理します。

# TRIGONOMETRIC_01-1

import math

# 円周率を定義
pi = math.pi

a = math.sin(pi/6)
b = math.cos(pi/6)
c = math.tan(pi/6)

print("sin(pi/6) = {}".format(a))
print("cos(pi/6) = {}".format(b))
print("tan(pi/6) = {}".format(c))
sin(pi/6) = 0.49999999999999994
cos(pi/6) = 0.8660254037844387
tan(pi/6) = 0.5773502691896257

 math.tan(x) の扱いには注意が必要です。本来ならば、$\tan(\pi/2)$ は値をもたないはずですが ($\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm\pi/2}\tan x=\mp\infty$)、math.tan(x) は引数に pi/2 を渡すと非常に大きな値を返してきます:

# TRIGONOMETRIC_01-2

# 円周率を定義
pi = math.pi

x = math.tan(pi/2)

print("tan(pi/2) = {}".format(x))
tan(pi/2) = 1.633123935319537e+16

 引数が pi/2 の整数倍でも同じことが起こります。内部処理では、三角関数を級数展開によって計算させているので、このように若干の誤差を伴います。プログラムの内容によっては、引数に pi/2 の整数倍が渡されたときは浮動小数点数型の inf (無限大) や -inf (負の無限大) を返すような関数を作るなどの工夫が必要になる場合があります。
 

角度を度数法単位で指定

 度数法単位 (degree) で表された角度の三角関数を計算するときには、math.radians() を使って角度をラジアンに変換してから、math.sin(), math.cos(), math.tan() に渡します。

# TRIGONOMETRIC_02

import math

# sin60°, cos60°, tan60°を計算
a = math.sin(math.radians(60))
b = math.cos(math.radians(60))
c = math.tan(math.radians(60))

print("sin60°= {}".format(a))
print("cos60°= {}".format(b))
print("tan60°= {}".format(c))
sin60°= 0.8660254037844386
cos60°= 0.5000000000000001
tan60°= 1.7320508075688767

 これだと引数の指定の仕方が面倒なので、度数法単位の角度をそのまま渡せるような関数を作っておくのも1つの方法です:

# TRIGONOMETRIC_03

# degreeで引数を指定する三角関数の定義
def dsin(x):
    import math
    return math.sin(math.radians(x))

def dcos(x):
    import math
    return math.cos(math.radians(x))

def dtan(x):
    import math
    return math.tan(math.radians(x))

a = dsin(60)
b = dcos(60)
c = dtan(60)

print("sin60°= {}".format(a))
print("cos60°= {}".format(b))
print("tan60°= {}".format(c))
sin60°= 0.8660254037844386
cos60°= 0.5000000000000001
tan60°= 1.7320508075688767

 

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NumPy 三角関数

 NumPyを活用した三角関数についても簡単に解説しておきます。numpy.sin(x), numpy.cos(x), numpy.tan(x) は、それぞれ引数 x の正弦(サイン)、余弦(コサイン)、正接(タンジェント)を返します。引数には整数・浮動小数点数の他に、複素数や配列 (ndarray) を渡すことができます。

引数に配列を指定

 引数に配列を指定する例です:

# TRIGONOMETRIC_04-1

import numpy as np

# 円周率を定義
pi = np.pi

x = np.array([pi/4, pi/2, pi])

sin_x = np.sin(x)
cos_x = np.cos(x)
tan_x = np.tan(x)

print(sin_x)
print(cos_x)
print(tan_x)
0.8660254037844386
0.5000000000000001
1.7320508075688767

 

引数に複素数を指定

 複素数の三角関数の計算例も載せておきます。
 複素変数 $z$ の三角関数は次のように定義されています:
 
\[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\quad \ \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\] 

# TRIGONOMETRIC_04-2

# 複素数を要素にもつ配列を用意
z = np.array([1j, 1+1j, 1+2J])

# 配列の各要素の三角関数を計算
sin_z = np.sin(z)
cos_z = np.cos(z)
tan_z = np.tan(z)

print(sin_z)
print(cos_z)
print(tan_z)
[0. +1.17520119j 1.29845758+0.63496391j 3.16577851+1.95960104j]
[1.54308063-0.j 0.83373003-0.98889771j 2.03272301-3.0518978j]
[0. +0.76159416j 0.27175259+1.08392333j 0.03381283+1.01479362j]

 

三角関数のグラフ

 Matplotlib.pyplot を読み込んで三角関数のグラフを描画させるサンプルコードを載せておきます。

# TRIGONOMETRIC_05

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# フィギュアを設定
fig = plt.figure()

# グリッド線を表示
plt.style.use("ggplot")

# グラフ描画領域を追加
ax = fig.add_subplot(111)

# x軸, y軸のラベルを設定
ax.set_xlabel("x", fontsize = 16)
ax.set_ylabel("y", fontsize = 16)

# -2*pi~2*piまでpi/36刻みのデータを用意
x = np.arange(-2*np.pi, 2*np.pi, np.pi/36)

# yのデータを用意
y1 = np.sin(x)
y2 = np.cos(x)

# データをプロット
ax.plot(x, y1, label = "y = sinx")
ax.plot(x, y2, label = "y = cosx")

# 凡例は左下に表示
ax.legend(loc = "lower left")

Python 三角関数のグラフ
 

SymPy 三角関数

 sympy.cos(x), sympy.sin(x), sympy.tan(x) はそれぞれ x の余弦(コサイン)、正弦(サイン)、正接(タンジェント)を返します。

# TRIGONOMETRIC_06

# sympyをインポート
import sympy

# 記号xを定義
sympy.var('x')

# 円周率
pi = sympy.pi

# f(x) = cosx
func = sympy.cos(x)

print(func.subs(x, pi))
-1

 $\cos x,\ \sin x,\ \tan x$ の逆数をそれぞれ $x$ の正割 (secant)、余割 (cosecant)、余接 (cotangent) とよび、それぞれ $\sec x,\ \csc x,\ \cot x$ という記号で表します:
 
\[\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \csc x=\frac{1}{\sin x},\quad \cot x=\frac{1}{\tan x}\]
 sympy.sec(x), sympy.csc(x), sympy.cot(x) は、それぞれ x の正割、余割、余接を返します。

# TRIGONOMETRIC_07

import sympy

# 記号xを定義
x = sympy.Symbol('x')

# 円周率を定義
pi = sympy.pi

f = sympy.sec(x + pi)
g = sympy.csc(x + pi)
h = sympy.cot(x + pi)

print(f)
print(g)
print(h)
-sec(x)
-csc(x)
cot(x)

trigsimp()

 trigsimp() は三角関数の公式を適用して数式を簡略化します。

# TRIGONOMETRIC_08-1

from sympy import *
var ("x y")

f = cos(x)**2 + sin(x)**2 + a*sin(x)*cos(x)

# 数式を簡略化
g = trigsimp(f)

print(g)
a*sin(2*x)/2 + 1

 

expand_trig()

 expand_trig() は加法定理や倍角公式などを使って三角関数を展開します。

# TRIGONOMETRIC_08-2

f = sin(x + y) + cos(2*x)

# 加法定理と倍角公式で展開
g = expand_trig(f)

print(g)
sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x) + 2*cos(x)**2 - 1

 

math 逆三角関数

 mathモジュールには逆三角関数を求める関数がいくつか用意されています。
 math.asin(x) は引数 x の 逆正弦 $\mathrm{Arcsin}(x)$ をラジアン単位で返します。

# TRIGONOMETRIC_09-1

# Arcsin(0.5)
a = math.asin(0.5)

print(a)
0.5235987755982989

 math.acos(x) は引数 x の 逆余弦 $\mathrm{Arccos}(x)$ をラジアン単位で返します。

# リストTRIGONOMETRIC_09-2

# Arccos(0.5)
b = math.acos(0.5)

print(b)
1.0471975511965979

 math.atan(x) は引数 x の 逆正接 $\mathrm{Arctan}(x)$ をラジアン単位で返します。

# TRIGONOMETRIC_09-3

# Arctan(0.5)
c = math.atan(0.5)

print(c)
0.4636476090008061

 math.atan2(y/x) は原点 O と座標 $(x,y)$ を結ぶ直線が $x$ 軸となす角度を $-\pi$ から $pi$ の範囲で返します。

# TRIGONOMETRIC_09-4

# 原点Oと(1,1)を結ぶ直線がx軸となす角度
d = math.atan2(1, 1)

# dを度数法単位に変換
d_deg = math.degrees(d)

print(d)
print(d_deg)
0.7853981633974483
45.0

 

NumPy 逆三角関数

 numpy.arcsin(x), numpy.arccos(x), numpy.arctan(x) は、それぞれ x の逆正弦、逆余弦、逆正接を返すユニバーサル関数です。たとえば、$-1$ から $1$ を一定の幅で刻んだ離散データを渡して、逆三角関数のグラフを描くためのデータを作成できます。

# TRIGONOMETRIC_10

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# FigureとAxesを設定
fig = plt.figure(figsize = (5, 5))
ax = fig.add_subplot(111)
ax.grid()
ax.set_xlim([-1, 1])
ax.set_ylim([-3, 3])
ax.set_xlabel("x", fontsize = 15)
ax.set_ylabel("y", fontsize = 15)

# xのデータを用意
x = np.linspace(-1, 1, 513)

# yのデータを用意
y1 = np.arcsin(x)
y2 = np.arccos(x)

# データをプロット
ax.plot(x, y1, color = "red", label = "y = Arcsinx")
ax.plot(x, y2, color = "blue", label = "y = Arccosx")

# 凡例は左下に表示
ax.legend(loc = "lower right")

 [numpy] arcsin, arccos

 numpy.arctan2(x, y) は原点 O と座標 $(x,y)$ を結ぶ直線が $x$ 軸となす角度を $-\pi$ から $pi$ の範囲で返します。

# TRIGONOMETRIC_11

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原点Oと(1,1)を結ぶ直線がx軸となす角度
ang = np.arctan2(-1, 1)

# dを度数法単位に変換
ang_deg = np.rad2deg(ang)

print(ang)
print(ang_deg)
-0.7853981633974483
-45.0