行列のトレース (対角和)
$n\times n$ の正方行列
\[A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n}\\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\a_{n1}&a_{n2} &\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}\]
について、主対角成分 (左上から右下に伸びる対角線上の成分) の総和
\[a_{11}+a_{22}+\ \cdots\ +a_{nn}\tag{1}\]
を行列 $A$ の トレース (対角和) とよび、$\mathrm{tr}A$ で表します。稀にドイツ語の Spur の訳である 跡 (せき) という言葉が使われることもあります。たとえば、$4\times 4$ の正方行列
\[A=\begin{bmatrix}5 & 7 & 1& 0\\9 & 2 & 8& 1\\3 & 6 & 5& 5\\4 & 0 & 7& 6\\\end{bmatrix}\]
のトレースを計算すると $\mathrm{tr}A=5+2+5+6=18$ となります。
トレースの性質
行列 $A$ のトレースは線形写像です。
すなわち、任意の行列 $A,\ B$ とスカラー$k$ について
\[\begin{align*}&\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}A+\mathrm{tr}B\tag{2}\\[6pt]
&\mathrm{tr}(kA)=k\mathrm{tr}A\tag{3}\end{align*}\]
が成り立ちます。
一般に行列積について $AB=BA$ は保障されませんが、トレースの値は保存されます：
\[\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\tag{4}\]
実際、$2\times 2$ の正方行列
\[A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}e & f\\g & h\end{bmatrix}\]
について行列積は
\[\begin{align*}AB=\begin{bmatrix}ae+bg & af+bh\\ce+dg & cf+dh\end{bmatrix}\\[6pt]
BA=\begin{bmatrix}ae+cf & be+df\\ag+ch & bg+dh\end{bmatrix}\end{align*}\]
なので、トレースを計算すると
\[\begin{align*}&\mathrm{tr}(AB)=ae+bg+cf+dh\\[6pt]&\mathrm{tr}(BA)=ae+cf+bg+dh\end{align*}\]
となって、確かに $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ が成り立っています。
行列 $A$ の 転置 についてもトレースは不変です。すなわち
\[\mathrm{tr}A^T=\mathrm{tr}A\]
が成り立ちます。
numpy.trace()
numpy.trace() に行列 a を渡すと a のトレースを返します。
行列積 $AB$ のトレースと $BA$ のトレースが一致することを確認してみます。
# numpy_trace
# In[1]
import numpy as np
# 乱数ジェネレータを初期化
np.random.seed(15)
# 行列aを定義
# [[8 5 5]
# [7 0 7]
# [5 6 1]]
a = np.random.randint(0, 10, (3, 3))
# 行列bを定義
# [[7 0 4]
# [9 7 5]
# [3 6 8]]
b = np.random.randint(0, 10, (3, 3))
# 行列積abを計算
ab = np.dot(a, b)
# 行列積baを計算
ba = np.dot(b, a)
# abのトレース
tr_ab = np.trace(ab)
# baのトレース
tr_ba = np.trace(ba)
print("行列積ab\n{}\n".format(ab))
print("行列積ba\n{}\n".format(ba))
print("tr(ab) : {}".format(tr_ab))
print("tr(ba) : {}".format(tr_ba))行列積ab [[116 65 97] [ 70 42 84] [ 92 48 58]] 行列積ba [[ 76 59 39] [146 75 99] [106 63 65]] tr(ab) : 216 tr(ba) : 216