ユニタリ行列

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ユニタリ行列

実空間 ${\mathbb{R}}^n$ の直交行列 $Q$ は、複素空間 ${\mathbb{C}}^n$ において ユニタリ行列 $U$ として拡張定義されます。ユニタリ行列は
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& U^{\ast }U=U{U}^{\ast }=I\end{array}$$
を満たす正方行列です。$U$ が実行列であれば $U^{\ast }=U^T$ なので、(1) は直交行列 $Q$ の定義を包含します。たとえば、前回記事で扱ったエルミート行列
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& H=\left[\begin{array}{cc}2& 1-i\\ 1+i& 3\end{array}\right]\end{array}$$
を対角化する行列
 $$\begin{array}{}\text{(3)}& \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{6}}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{\sqrt{6}(1+i)}{6}& \frac{\sqrt{3}(1+i)}{3}\end{array}\right]\end{array}$$
はノルム $1$ の列ベクトル同士が直交するので ユニタリ行列 です。
 
列ベクトル同士が直交する任意の行列は、正規化して各々のベクトルの ノルム を $1$ に揃えることで、ユニタリ行列にすることができます。たとえば、
 $$\begin{array}{}\text{(4)}& A=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1+i& 1+i\end{array}\right]\end{array}$$
は列ベクトル同士が直交する行列です。これを正規化してユニタリ行列にしてみましょう。

# python_unitary

# In[1]

import numpy as np
from scipy import linalg
np.set_printoptions(precision=3)

# 共役転置関数
def hermitian(arr):
    return np.conjugate(arr.T)

# 正規化関数
def normalize(arr, axis=0):
    norm = linalg.norm(arr, axis=axis)
    return arr / norm

A = np.array([[-2, 1],
              [1+1j, 1+1j]])

# Aを正規化してユニタリ行列にする
U = normalize(A)

# ユニタリ行列が満たすべき性質を確認
X1 = hermitian(U) @ U
X2 = U @ hermitian(U)

print("U:\n{}\n".format(U))
print("(U^†)U:\n{}\n".format(X1))
print("U(U^†):\n{}".format(X2))

'''
U:
[[-0.816+0.j     0.577+0.j   ]
 [ 0.408+0.408j  0.577+0.577j]]

(U^†)U:
[[1.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 1.+0.j]]

U(U^†):
[[ 1.000e+00+0.000e+00j -2.946e-18+2.946e-18j]
 [-2.946e-18-2.946e-18j  1.000e+00+0.000e+00j]]
'''

ユニタリ行列の逆行列

$U^{\ast }U=U{U}^{\ast }=I$ を満たすので、ユニタリ行列 $U$ の随伴行列 $U^{\ast }$ は $U$ の逆行列です。
 $$\begin{array}{}\text{(5)}& U^{\ast }=U^{-1}\end{array}$$
(4) を正規化して作ったユニタリ行列の随伴行列と逆行列を計算して、両者が一致することを確認してみましょう。

# In[2]

U_H = hermitian(U)
U_inv = linalg.inv(U)

print("Uの随伴行列：\n{}\n".format(U_H))
print("Uの逆行列：\n{}".format(U_inv))

'''
Uの随伴行列：
[[-0.816-0.j     0.408-0.408j]
 [ 0.577-0.j     0.577-0.577j]]

Uの逆行列：
[[-0.816+0.j     0.408-0.408j]
 [ 0.577+0.j     0.577-0.577j]]
'''

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ユニタリ変換

任意のベクトル $\mathit{x}$ にユニタリ行列 $U$ をかけたとき、$U\mathit{x}$ のノルムは
 $$\begin{array}{}\text{(6)}& (U\mathit{x},U\mathit{x})=(U\mathit{x}{)}^{\ast }U\mathit{x}={\mathit{x}}^{\ast }{U}^{\ast }U\mathit{x}={\mathit{x}}^{\ast }\mathit{x}=(\mathit{x},\mathit{x})\end{array}$$
となって、ユニタリ行列による線形変換 (ユニタリ変換) がベクトルのノルムを保持する等長変換であることがわかります (実数空間の直交行列 $Q$ と同じです)。すなわち、
 $$\begin{array}{}\text{(7)}& \parallel U\mathit{x}\parallel =\parallel \mathit{x}\parallel \end{array}$$
が成り立ちます。一例として、複素ベクトル
 $$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathit{z}=\left[\begin{array}{c}3+5i\\ 2-i\end{array}\right]\end{array}$$
について、自身のノルムと $Uz$ のノルムが一致することを確認してみます。

# In[3]

# 複素ベクトルを定義
z = np.array([3 + 5j, 2-1j])

# zのノルムを計算
z_norm = linalg.norm(z)

# zにユニタリ行列Uを作用させる
Uz = U @ z

# Uzのノルムを計算
Uz_norm = linalg.norm(Uz)

print(z_norm)
print(Uz_norm)

# 6.244997998398398
# 6.244997998398399

ユニタリ行列の固有値

ユニタリ行列 $U$ の固有値が $\lambda$、すなわち $U\mathit{x}=\lambda \mathit{x}$ であるとき、$\parallel \lambda \mathit{x}\parallel =\mathit{x}$ より、$\parallel \lambda \parallel =1$ となります。

# In[4]

# ユニタリ行列Uの固有値
eigvals = linalg.eig(U)[0]

# 固有値の絶対値
norm = np.abs(eigvals)

print("Uの固有値:\n{}\n".format(eigvals))
print("固有値の絶対値:\n{}".format(norm))

# Uの固有値:
# [-0.997-0.075j  0.758+0.652j]

# 固有値の絶対値:
# [1. 1.]

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