ユニタリ行列

ユニタリ行列

　実空間 $\mathbb{R}^n$ の 直交行列 $Q$ は、複素空間 $\mathbb{C}^n$ において ユニタリ行列 $U$ として拡張定義されます。ユニタリ行列は
　
\[U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=I\tag{1}\]
を満たす正方行列です。$U$ が実行列であれば $U^{\dagger}=U^T$ なので、(1) は直交行列 $Q$ の定義を包含します。たとえば、前回記事で扱ったエルミート行列
　
\[H=\begin{bmatrix}2&1-i\\1+i&3\end{bmatrix}\tag{2}\]
を対角化する行列
　
\[\left[\begin{matrix}- \cfrac{\sqrt{6}}{3} & \cfrac{\sqrt{3}}{3}\\
\cfrac{\sqrt{6} \left(1 + i\right)}{6} & \cfrac{\sqrt{3} \left(1 + i\right)}{3}\end{matrix}\right]\tag{3}\]
はノルム $1$ の列ベクトル同士が直交するので ユニタリ行列 です。
　
　列ベクトル同士が直交する任意の行列は、正規化して各々のベクトルの ノルム を $1$ に揃えることで、ユニタリ行列にすることができます。たとえば、
　
\[A=\begin{bmatrix}-2&1\\1+i&1+i\end{bmatrix}\tag{4}\]
は列ベクトル同士が直交する行列です。これを正規化してユニタリ行列にしてみましょう。

# python_unitary

# In[1]

import numpy as np
from scipy import linalg
np.set_printoptions(precision=3)

# 共役転置関数
def hermitian(arr):
    return np.conjugate(arr.T)

# 正規化関数
def normalize(arr, axis=0):
    norm = linalg.norm(arr, axis=axis)
    return arr / norm

A = np.array([[-2, 1],
              [1+1j, 1+1j]])

# Aを正規化してユニタリ行列にする
U = normalize(A)

# ユニタリ行列が満たすべき性質を確認
X1 = hermitian(U) @ U
X2 = U @ hermitian(U)

print("U:\n{}\n".format(U))
print("(U^†)U:\n{}\n".format(X1))
print("U(U^†):\n{}".format(X2))

'''
U:
[[-0.816+0.j     0.577+0.j   ]
 [ 0.408+0.408j  0.577+0.577j]]

(U^†)U:
[[1.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 1.+0.j]]

U(U^†):
[[ 1.000e+00+0.000e+00j -2.946e-18+2.946e-18j]
 [-2.946e-18-2.946e-18j  1.000e+00+0.000e+00j]]
'''

　$U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=I$ を満たすので、ユニタリ行列 $U$ の随伴行列 $U^{\dagger}$ は $U$ の逆行列です。
　
\[U^{\dagger}=U^{-1}\tag{5}\]
　(4) を正規化して作ったユニタリ行列の随伴行列と逆行列を計算して、両者が一致することを確認してみましょう。

# In[2]

U_H = hermitian(U)
U_inv = linalg.inv(U)

print("Uの随伴行列：\n{}\n".format(U_H))
print("Uの逆行列：\n{}".format(U_inv))

'''
Uの随伴行列：
[[-0.816-0.j     0.408-0.408j]
 [ 0.577-0.j     0.577-0.577j]]

Uの逆行列：
[[-0.816+0.j     0.408-0.408j]
 [ 0.577+0.j     0.577-0.577j]]
'''

ユニタリ変換

　任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ にユニタリ行列 $U$ をかけたとき、$U\boldsymbol{x}$ のノルムは
　
\[(U\boldsymbol{x}, U\boldsymbol{x})=(U\boldsymbol{x})^{\dagger}U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\dagger}U^{\dagger}U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\dagger}\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})\tag{6}\]
となって、ユニタリ行列による線型変換 (ユニタリ変換) がベクトルのノルムを保持する等長変換であることがわかります (実数空間の直交行列 $Q$ と同じです)。すなわち、
　
\[\parallel U\boldsymbol{x} \parallel=\parallel \boldsymbol{x} \parallel\tag{7}\]
が成り立ちます。一例として、複素ベクトル
　
\[\boldsymbol{z}=\begin{bmatrix}3+5i\\2-i\end{bmatrix}\tag{8}\]
について、自身のノルムと $Uz$ のノルムが一致することを確認してみます。

# In[3]

# 複素ベクトルを定義
z = np.array([3 + 5j, 2-1j])

# zのノルムを計算
z_norm = linalg.norm(z)

# zにユニタリ行列Uを作用させる
Uz = U @ z

# Uzのノルムを計算
Uz_norm = linalg.norm(Uz)

print(z_norm)
print(Uz_norm)

# 6.244997998398398
# 6.244997998398399

　ユニタリ行列 $U$ の固有値が $\lambda$、すなわち $U\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ であるとき、$\parallel\lambda\boldsymbol{x}\parallel=\boldsymbol{x}$ より、$\parallel\lambda\parallel=1$ となります。

# In[4]

# ユニタリ行列Uの固有値
eigvals = linalg.eig(U)[0]

# 固有値の絶対値
norm = np.abs(eigvals)

print("Uの固有値:\n{}\n".format(eigvals))
print("固有値の絶対値:\n{}".format(norm))

# Uの固有値:
# [-0.997-0.075j  0.758+0.652j]

# 固有値の絶対値:
# [1. 1.]

[参考文献]・ Wikipedia　・『ストラング：線形代数イントロダクション』