交差エントロピー誤差関数

対数尤度と交差エントロピー誤差関数

　前回記事では、ある気温 $x$ が与えられたとき、目標変数 $y$ が $1$ をとる（すなわち雨に分類される）確率 $P(t=1|x)$ は ロジスティック関数
　
\[L(x)=\frac{1}{1+\exp\{-(ax+b)\}}\]
によって与えられると仮定しました。今回は手持ちの実測データ
　
\[\boldsymbol{\mathrm{X}}=\begin{bmatrix}x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{N-1}
\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}t_0 \\ t_1 \\ \vdots \\ t_{N-1}\end{bmatrix}\]
を用いて、パラメータベクトル
　
\[\boldsymbol{q}=\begin{bmatrix}a \\ b\end{bmatrix}\]
を最適化することを考えます（今回は $p$ を使うと紛らわしいので、パラメータベクトルは $\boldsymbol{q}$ で表すことにします）。ここで、$P(t=1|x)=L$ とおくと、$P(t=0|x)=1-L$ なので、気温 $x$ が与えられたとき、目標変数が $t$ をとる確率（尤度）は
　
\[P(t|x)=L^t(1-L)^{1-t}\]
と表すことができます。念のために確認しておくと、$t=1$ のときは
　
\[P(t=1|x)=L^1(1-L)^0=L\]
となり、$t=0$ のときは
　
\[P(t|x)=L^0(1-L)^{1}=1-L\]
となります。確率の乗法定理によって、データセット $P(\boldsymbol{\mathrm{T}}|\boldsymbol{\mathrm{X}})$ が得られる確率は
　
\[P(\boldsymbol{\mathrm{T}}|\boldsymbol{\mathrm{X}})=P(t_0|x_0)P(t_1|x_1)P(t_2|x_2)\cdots P(t_{N-1}|x_{N-1})\]
のように計算できます。総積記号 $\prod$ を使うと、
　
\[P(\boldsymbol{\mathrm{T}}|\boldsymbol{\mathrm{X}})=\prod_{k=0}^{N-1}P(t_k|x_k)\]
と簡潔に表すことができます。ここで $L_k=L(x_k)$ とおいて、上式に代入すると、
　
\[P(\boldsymbol{\mathrm{T}}|\boldsymbol{\mathrm{X}})=\prod_{k=0}^{N-1}L_k^{t_k}(1-L_k)^{1-t_k}\]
となります。この式が最大値をとるようにパラメータベクトル $\boldsymbol{q}$ を決定すればよいことになります。両辺の対数をとると総積は総和の形になります。
　
\[\log P(\boldsymbol{\mathrm{T}}|\boldsymbol{\mathrm{X}})=\sum_{k=0}^{N-1}\{t_k\log L_k+(1-t_k)\log (1-L_k)\}\]
　これを 対数尤度 とよびます。さらに対数尤度の符号を変えて最小値を探す問題に変えます。このとき、
　
\[-\log P(\boldsymbol{\mathrm{T}}|\boldsymbol{\mathrm{X}})\]
のことを 交差エントロピー誤差関数 (cross entropy error function) とよびます。さらにデータ数の異なる場合でも比較できるように、データ数 $N$ で割っておくことにします。
　
\[E(\boldsymbol{q})=-\frac{1}{N}\log P(\boldsymbol{\mathrm{T}}|\boldsymbol{\mathrm{X}})
=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\{-t_k\log L_k-(1-t_k)\log (1-L_k)\}\]
　分類問題はこの 平均交差エントロピー誤差関数 $E(\boldsymbol{q})$ を最小化する問題に帰着しました。後の流れは以前に扱った非線形回帰分析と同じようになります。今回は scipy.optimize.minimize() で共役勾配法 (CG) を指定するので、引数として必要になる関数の勾配 (gradient) を求めておきます。$E(\boldsymbol{q})$ の総和記号 $\sum$ の中身を
　
\[E_k=-t_k\log L_k-(1-t_k)\log (1-L_k)\]
とおくと、$E_k$ の $a$ による偏微分は連鎖律を使って
　
\[\frac{\partial E}{\partial a}=\frac{\partial E_k}{\partial L_k} \frac{\partial L_k}{\partial a}\]
で計算することができます。$\cfrac{\partial E_k}{\partial L_k}$ と $\cfrac{\partial L_k}{\partial a}$ をそれぞれ計算すると、
　
\[\begin{align*}\cfrac{\partial E_k}{\partial L_k}&=-\cfrac{t_k}{L_k}+\cfrac{1-t_k}{1-L_k}\\[6pt]
\cfrac{\partial L_k}{\partial a}&=x_kL_k(1-L_k)\end{align*}\]
となるので、
　
\[\frac{\partial E_k}{\partial a}=(L_k-t_k)x_k\]
が得られます。したがって、
　
\[\frac{\partial E}{\partial a}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}(L_k-t_k)x_k\]
となります。同様にして $E$ の $b$ による偏導関数を計算すると
　
\[\frac{\partial E}{\partial b}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}(L_k-t_k)\]
となります。まとめると、$E(\boldsymbol{q})$ の勾配は
　
\[\nabla E(\boldsymbol{q})=\begin{bmatrix}\cfrac{\partial E}{\partial a}\\
\cfrac{\partial E}{\partial b}\end{bmatrix}=\frac{1}{N}\begin{bmatrix}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}(L_k-t_k)x_k\\
\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}(L_k-t_k)\end{bmatrix}\]
となります。

　ロジスティック関数と平均交差エントロピー誤差関数、およびその勾配関数を Python で実装しておきます。

# In[3]

# ロジスティック関数
def logistic(x, q):
    f = 1 / (1 + np.exp(-(q[0] * x + q[1])))
    return f

# 平均交差エントロピー誤差関数
def cee_logistic(q, x, t):
    f = logistic(x, q)
    c = - np.sum((t * np.log(f) + (1 - t) * np.log(1 - f)))
    return c / len(f)

# 平均交差エントロピー誤差関数の勾配
def grad_cee_logistic(q, x, t):
    f = logistic(x, q)
    grad = np.zeros(2)
    grad[0] = np.sum((f - t) * x)
    grad[1] = np.sum(f - t)
    return grad / len(f)

　次回は平均交差エントロピー誤差関数の最小値を計算してみます。

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