【SymPy】関数の極限値

関数の極限値

関数 $f(x)$ について、変数 $x$ を限りなく $a$ の値に近づけるときに $f(x)$ が唯一の値 $L$ に近づくならば、$L$ を $f(x)$ の 極限値 とよび、次のような記号で表します。
 \[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\]
たとえば $f(x)=x^2+c$ について、$x$ を限りなく $1$ に近づけたときの $f(x)$ の極限値は $f(1)=1+c$ となります：
 \[\lim_{x\rightarrow 1}(x^2+c)=1+c\]
極限値が常に存在するとは限りません。たとえば $\sin x$ は $-1$ と $1$ の間を振動する周期関数なので、$x\rightarrow +\infty$ の極限値を定めることができません。

sympy.limit()

SymPy パッケージ の sympy.limit() を使うと関数の極限値を得ることができます。
たとえば、$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ は次のように記述します。

sympy.limit(f(x), x, a)

解析学で有名な極限公式
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
を確認してみましょう。

# SYMPY_LIMIT_SINX/X

# In[1]

# sympyをインポート
import sympy

# 記号xを定義
sympy.var('x')

# y=sinx/x
y = sympy.sin(x)/x

# x→0の極限値
lim_y = sympy.limit(y, x, 0)

print(lim_y)

# y=sinx/xのグラフをプロット
p = sympy.plot(y, (x, -12, 12), ylabel="y")

# 1

微分積分学では次の極限公式もよく登場します。
 \[\begin{align*}&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1\\[6pt]&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\end{align*}\]　

# In[2]

# f(x)とg(x)を定義
fx = sympy.tan(x)/x
gx = (1-sympy.cos(x)) / x**2

# xを0に近づけたときのf(x)とg(x)の極限値
lim_fx = sympy.limit(fx, x, 0)
lim_gx = sympy.limit(gx, x, 0)

print([lim_fx, lim_gx])
# [1, 1/2]

$x\sin (1/x)$ は振動しながら原点に収束する関数です。
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x}=0\]　

# In[3]

# y=sin(1/x)
y = x * sympy.sin(1/x)

# xを0に近づけた時のsin(1/x)の極限値
lim_y = sympy.limit(y, x, 0)

print(lim_y)

# y=sin(1/x)のグラフをプロット
p = sympy.plot(y, (x, -0.1, 0.1), ylabel = "y", line_color="red")
# 0

極限値が存在しない場合

$\sin x$ は $x\rightarrow \infty$ の極限値をもちませんが、その場合でも $-1$ から $1$ の間で振動することを <-1, 1> のような記号で表示します。SymPy においては、極限値が一定範囲で振動する状況を AccumBounds() オブジェクトで表現します。

# SYMPY_LIMIT_OSCILLATE

# In[1]

import sympy

# シンボルxを定義
sympy.var('x')

# 無限大のシンボルを定義
oo = sympy.oo

# f(x)=sinx
fx = sympy.sin(x)

# xを0に近づけた時のsinxの極限値
lim_fx = sympy.limit(fx, x, oo)

# 極限値は定まらず-1から1の間を振動するのでAccumBoundsオブジェクトが返る
print(lim_fx)

# AccumBounds(-1, 1)

右側極限と左側極限

解析学では関数 $f(x)$ がある値 $a$ に $x$ 軸の正の方向から近づくときの極限値を右側極限、負の方向から近づくときの極限値を左側極限とよび、それぞれ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)$ と表します。たとえば $\tan x$ は右側から $\pi/2$ に近づくと $-\infty$ 、左側から $\pi/2$ に近づくと $\infty$ という極限値をとります。sympy.limit() の第 4 引数に ‘+’ を渡すと右側極限を、’-‘ を渡すと左側極限を返します。

# SYMPY_LIMIT_RIGHT_LEFT

# In[1]

import sympy

# 記号xを定義
sympy.var('x')

# 無限大の定義
oo = sympy.oo

# 円周率の定義
pi = sympy.pi

# f(x)=tan(x)
fx = sympy.tan(x)

# tanxの右側極限
lim_fx_right = sympy.limit(fx, x, pi/2, '+')

# tanxの左側極限
lim_fx_left = sympy.limit(fx, x, pi/2, '-')

print("右側極限 {}".format(lim_fx_right))
print("左側極限 {}".format(lim_fx_left))

# 右側極限 -oo
# 左側極限 oo