Python数学

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  • 2019.05.26

表現行列① 対称移動

対称移動  『線型写像』の記事で、あらゆる種類の線型変換は行列形式で表現できることを解説しました。中でも 対称移動 (折り返し) は基本的な線型変換です。いくつかの種類について表現行列を調べてみます。 軸に関する対称移動  任意の点を $x$ 軸に関して折り返す表現行列は   \[A=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}\tag{1}\] で与えられます。 […]

  • 2019.05.25

余因子と余因子行列

余因子と余因子行列  すでに $2\times 2$ の逆行列については学んでいますが、サイズの大きな行列の逆行列を求めることは簡単なことではありません。一般に逆行列を求める手順として、「掃き出し法」と「余因子行列を用いる方法」があります。この記事では余因子行列について解説します。 小行列式  $n$ 次の正方行列 $A$ について、$i$ 行目と $j$ 列目を取り除いて作った行列式を $A$ […]

  • 2019.05.24

行列のトレース

行列のトレース (対角和) トレースの定義  $n\times n$ の正方行列   \[A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots &a_{nn}\end{bmatri […]

  • 2019.05.24

転置行列

転置行列 転置行列の定義  $m\times n$ の行列   \[A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2} &\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}\] について、 […]

  • 2019.05.24

線型写像

集合と写像  ある 2 つの集合 $A,\ B$ があって、$A$ のそれぞれの元 (要素) について、$B$ の元 (要素) に対応させるような規則 $f$ が与えられたとき、$f$ を $A$ から $B$ への 写像 (map)とよび、   \[f:A \mapsto B\] のように記述します。たとえば、元を図 1 のように結びつけて、これを写像 $f$ と定義することができます。     […]

  • 2019.05.23

ベクトル空間

 これまでの話を整理すると同時に、もう少し高い視点で線型代数を眺めるために、今回と次回は「ベクトル空間」と「線型写像」という抽象的な概念を解説します。この手の話は知らなくても数値計算で困ることはありませんが、知っておいたほうが「線型代数」の全体像を把握しやすくなると思うので、できれば一読しておいてください。   ベクトル空間 ベクトル空間の定義  実数成分をもつ 2 次元ベクトルの集合を $\ma […]

  • 2019.05.23

連立一次方程式の解

連立一次方程式の解  前回記事で学んだ 逆行列 を使って、行列形式で表された連立一次方程式 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$、すなわち   \[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}\tag{1}\] […]

  • 2019.05.23

単位行列と逆行列

 次回記事では連立一次方程式 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$ を解くための一般的な手順を考えます。  その準備として、今回は単位行列と逆行列を定義して、その扱い方を学びます。   単位行列 単位行列の定義  行列 $A$ に左右どちらから掛けても $A$ となるような行列を単位行列 (identity matrix) とよびます。$2\times 2$ の単位行列 […]

  • 2019.05.22

行列の定義と演算規則

連立一次方程式と行列 連立一次方程式  連立一次方程式 について簡単に復習しておきましょう。  次のような方程式を解いてみます。   \[\begin{align*} &5x-y=9\tag{1}\\[6pt] &2x+3y=7\tag{2}\end{align*}\]  $x$ と $y$ の 2 つの未知数があるので、このうち 1 つを消去することを考えます。ここでは $y$ を消去することに […]

  • 2019.05.20

ベクトル積(外積)

  ベクトル積(外積) ベクトル積の定義  3 次元空間のベクトル   \[\boldsymbol{u}=\begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix}\] に対して ベクトル積(外積)を   \[\boldsymbol{ […]

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