- 2019.12.02
随伴行列
≪ [前の記事] QR 分解 共役転置と随伴行列 今回からベクトルおよび行列の要素を複素数に拡張します。$n$ 次元複素数空間は complex number の頭文字をとって $\mathbb{C}^n$ と表されます。内積やノルム、転置行列などが、実空間 $\mathbb{R}^n$ における定義を包含するような形で再定義され、エルミート行列やユニタリ行列などの新しい種類の行 […]
Python数学
- 2019.11.28
QR分解
≪ [前の記事] グラム・シュミットの直交化法 QR分解 $m\times n$ 行列 $A$ を $m\times m$ 直交行列 $Q$ と $m\times n$ 上三角行列 $R$ の積に分解することを QR分解 (QR decomposition) とよび、数値線型代数において重要な役割を担います。NumPy には QR分解を実行する numpy.linalg.qr() […]
- 2019.11.28
グラム・シュミットの直交化法
≪ [前の記事] 完全正規直交系 グラム・シュミットの直交化法 前回記事では完全正規直交系の定義と性質について解説しました。 今回は $\mathbb{R}^n$ の任意の基底 $\{\boldsymbol{a}_1,\ \boldsymbol{a}_2,\ ...,\ \boldsymbol{a}_n\}$ から完全正規直交系 $\{\boldsymbol{q}_1,\ \b […]
- 2019.11.26
フィボナッチ数列・トリボナッチ数列
フィボナッチ数列 $F_1=F_2=1,\ F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$ で定義される数列を フィボナッチ数列 とよびます。規則にしたがって最初の $10$ 項を書き並べると以下のようになります。 \[1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55\tag{1}\] フィボナッチ数列の一般項は \[F_n=\frac{\phi^n-( […]
- 2019.11.19
完全正規直交系と直交行列
≪ [前の記事] 正射影ベクトルと射影行列 完全正規直交系と直交行列 完全正規直交系 ベクトル空間を張るベクトルの集合を基底とよびました。基底であるための条件は「互いに線型独立である」、「空間を張るメンバーが不足していない」の 2 つでしたが、さらに「互いに直交する」、「メンバーが単位ベクトルである」という 2 つの条件を付け加えた基底を 完全正規直交系 (正規直交基底) とよび […]
- 2019.11.17
正射影ベクトルと射影行列
≪ [前の記事] 直交補空間 正射影ベクトルと射影行列 今回の記事ではベクトルを互いに垂直な 2 つのベクトルに分解する手法を学びます。物理学を学んだことのある人にとっては、物体に作用する力の分解などでお馴染みの作業です。しかし、ベクトルの分解には、そうした便宜的手法以上の深い意味が隠されています。 直線への正射影 下図のように、2 つのベクトル $\boldsymbol{ […]
- 2019.11.07
直交補空間
≪ [前の記事] 階数・退化次数の法則 直交補空間 直交部分空間 『ベクトルの内積』で、ベクトル $\boldsymbol{v}$ と $\boldsymbol{w}$ が直交することを内積を使って $\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=0$ のように表されることを学びました。今回は部分空間の直交を次のように定義します。 あるベクトル空間 $U$ […]
- 2019.11.03
[SymPy] 数式の簡略化
数式の簡略化 SymPy には数式を 簡略化 (simplification) するための色々な関数が用意されています。 sympy.simplify() sympy.simplify() は最も適切だと思われる簡略化関数を自動選択して適用します。 アバウトな指定方法なので、必ずしも思った通りの結果が得られるとは限りませんが、簡略化の傾向を知っておけば、それなりに使い勝手の良い関数です。最初 […]
- 2019.10.28
sinc関数
sinc関数 正弦関数 $\sin x$ を $x$ で割った関数 \[\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}\tag{1}\] を sinc関数 とよびます。このままでは、$x=0$ で定義されない不連続な関数ですが、有名な極限値の公式 \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\tag{2}\] を考慮して、 \[ […]
- 2019.10.26
階数・退化次数の定理
≪ [前の記事] 列空間と行空間 階数・退化次数の定理 次のような矩形行列 $A$ の階数 (rank) を考えます。 \[A=\begin{bmatrix}0&1&1&5\\1&1&2&2\\2&2&4&4\end{bmatrix}\tag{1}\] 1 列目と 2 列目を加えると 3 列目になるので、3 列目を基底から除きます。 残りの列で行列式をつくると \[\be […]