Python数学

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  • 2019.05.20

ベクトル積(外積)

  ベクトル積(外積) ベクトル積の定義  3 次元空間のベクトル   \[\boldsymbol{u}=\begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix}\] に対して ベクトル積(外積)を   \[\boldsymbol{ […]

  • 2019.05.19

行列式の交代性と転置不変性

行列式の線型性  ベクトル $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$ を   \[\boldsymbol{u}=\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} ,\quad \boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\] と表し、$k$ を任意の実数として行列式 $\mathrm{det} […]

  • 2019.05.18

行列式の定義とサラスの方法

行列式の定義  前回記事 で扱った $v_1w_2-v_2w_1$ は線型代数において重要な意味をもつ量であり、   \[\mathrm{det}(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}) =\begin{vmatrix}v_1 & w_1\\v_2 & w_2\end{vmatrix}\tag{2}\] のように書いて 行列式 (determinant) とよびます。計算する […]

  • 2019.05.17

線型独立と線型従属

ベクトルの線形結合と行列式 ベクトルの線形結合  ベクトル $\boldsymbol{v},\ \boldsymbol{w}$ について、それぞれに任意の実数 $p,\ q$ を掛けて加えたベクトル $\boldsymbol{r}$ を $\boldsymbol{v}$ と $\boldsymbol{w}$ の 線形結合 (linear combination) とよびます。   \[\bolds […]

  • 2019.05.15

ベクトルの描画

ベクトルの描画 matplotlib.axes.Axes.quiver()  線型代数を学ぶときには ベクトルを視覚化 すると理解の助けとなります。  Matplotlib には 2 次元ベクトル場を描画するために matplotlib.axes.Axes.quiver() という関数が用意されています。ベクトル場とは、すべての点でベクトルが定義されている平面(あるいは空間)のことで、物理学の分野 […]

  • 2019.05.15

ベクトルの内積

ベクトルの内積  ベクトルの 内積 (inner product) は要素同士の積の総和として定義されます。   \[\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w} =\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}w_1\\w_2\\\vdots\\w_n\end{bmatrix} = […]

  • 2019.05.14

ベクトルの大きさと単位ベクトル

ベクトルの大きさ ユークリッドノルム  2 次元ベクトル $\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}$ の大きさ(長さ)は   \[\parallel\boldsymbol{v}\parallel=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\] によって定義されます。$n$ 次元ベクトルについても同様に、   \[\parallel\bold […]

  • 2019.05.14

ベクトルとスカラー

スカラー  ベクトルという新しい概念を導入するにあたって、ベクトルと区別するために普段使っている実数をスカラーとよぶことにします(場合によっては複素数もスカラーと考えることもできますが、当面はスカラーは実数であると考えて差支えありません)。下の図のような数直線を考えて、原点から任意のスカラーまで矢印を引いてみると、スカラーの符号によって矢印の方向は 2 種類あります。    スカラー同士の加算(足 […]

  • 2019.05.11

ルジャンドル多項式・陪関数

ルジャンドル多項式  ルジャンドルの微分方程式   \[\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{df(x)}{dx}\right]+n(n+1)f(x)=0\tag{1}\] の解 $P_n(x)$ を ルジャンドル多項式 (Legendre polynomial) とよび、   \[P_0(x),\ P_1(x),\ P_2(x),\ P_3(x),\ ...\] は区間 […]

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