Python数学

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  • 2019.05.15

ベクトルの内積

 ≪ [前の記事] ベクトルの大きさ   ベクトルの内積  ベクトルの 内積 (inner product) は要素同士の積の総和として定義されます。   \[\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w} =\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}w_1\\w_2\ […]

  • 2019.05.14

ベクトルの大きさと単位ベクトル

 ≪ [前の記事] ベクトルとスカラー   ベクトルの大きさ ユークリッドノルム  2 次元ベクトル $\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}$ の大きさ(長さ)は   \[\parallel\boldsymbol{v}\parallel=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\] によって定義されます。$n$ 次元ベクトル […]

  • 2019.05.14

ベクトルとスカラー

スカラー  ベクトルという新しい概念を導入するにあたって、ベクトルと区別するために普段使っている実数をスカラーとよぶことにします(場合によっては複素数もスカラーと考えることもできますが、当面はスカラーは実数であると考えて差支えありません)。下の図のような数直線を考えて、原点から任意のスカラーまで矢印を引いてみると、スカラーの符号によって矢印の方向は 2 種類あります。    スカラー同士の加算(足 […]

  • 2019.05.11

ルジャンドル多項式・陪関数

ルジャンドル多項式  ルジャンドルの微分方程式   \[\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{df(x)}{dx}\right]+n(n+1)f(x)=0\tag{1}\] の解 $P_n(x)$ を ルジャンドル多項式 (Legendre polynomial) とよび、   \[P_0(x),\ P_1(x),\ P_2(x),\ P_3(x),\ ...\] は区間 […]

  • 2019.05.10

チェビシェフ多項式

第一種チェビシェフ多項式  第一種チェビシェフ多項式 (Chebyshev polynomials of the first kind) は   \[T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)\tag{1}\] によって定義されます。$x=\cos\theta$ とおけば、   \[T_n(x)=\cos(n \mathrm{Arccos}x)\tag{2}\] と表すことができま […]

  • 2019.05.09

エルミート多項式

エルミート多項式  エルミート多項式 (Hermite polynomial) は $g(t,x)=\exp(2tx-t^2)$ を指数型母関数として生成される直交多項式です。すなわち、   \[g(t,x)=\sum_{n=0}^{\infty}H_n(x)\frac{t^n}{n!}\] と展開したときの係数をエルミート多項式 $H_n(x)$ と定義します。エルミート多項式は以下の漸化式を満 […]

  • 2019.05.08

ベータ関数

ベータ関数  ベータ関数 は複素数 $x,\ y$ について   \[B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\quad (\mathrm{Re}x,\mathrm{Re}y\gt 0)\tag{1}\] で定義される関数です。scipy.special.beta(a, b) を使うとベータ関数の値を計算できます。定義式 (1) から明らかなように、ベータ関数 […]

  • 2019.05.08

リーマンのゼータ関数

リーマンのゼータ関数  解析的整数論において重要な位置を占める リーマンのゼータ関数 (Riemann zeta function) は   \[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\quad (\mathrm{Re}(s)\gt 1)\tag{1}\] によって定義されます。Scipy にはリーマンゼータ関数を計算する scipy.special.z […]

  • 2019.05.07

ベルヌーイ数

ベルヌーイ数  $x/(e^x-1)$ をマクローリン級数展開して   \[\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n x_n}{n!}\] と表したとき、係数 $B_n$ を ベルヌーイ数 (Bernoulli number) とよびます。上記のような形 ($a_n/n!$ の形) で数列 $a_n$ が関数 $f(x)$ の展開式に含まれるとき、$ […]

  • 2019.05.06

ガンマ関数・ポリガンマ関数

ガンマ関数  整数 $n$ について階乗 $n!$ は   \[n!=\begin{cases}1 & (n=0)\\[6pt] n(n-1)(n-2)\ \cdots\ 2\cdot 1 & (n\geq 1)\end{cases}\] によって定義されますが、$n$ を実部が正となる複素数 $z$ にまで拡大定義した連続関数を ガンマ関数 とよびます。   \[\Gamma(z)=\int_{ […]

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